7.4. Параметризация даусвязной и односвязной областей с контурными линиями без угловых точек

Пусть область на ограничена двумя гладкими контурными линиями без угловых точек (рис. 7.10). Предположим далее, что линии на с не пересекаются и не имеют общих точек касания, а в области о можно найти такую точку О, что каждый луч, проведенный из этой точки, пересекает линии не более одного раза.

Для решения задачи параметризации рассматриваемой области отнесем плоскость к полярной системе координат с центром в точке О и выберем на в качестве фиктивной области круговое кольцо с контурными линиями совпадающими с координатными линиями . В дальнейшем предположим, что а контурные линии области заданы уравнениями (см. рис. 7.10)

где -однозначные, непрерывные и необходимое число раз дифференцируемые функции от .

Рис. 7.10

Для отображения области на рассматриваемую область методом, изложенным в разделе 7.2, можно положить а функцию представить в виде

аналогичном (7.29). Подчиняя (7.47) граничным условиям

найдем

Следовательно,

Внося (7.48) в формулы (7.19), с учетом получим

Основные расчетные величины при этом определяются по формулам: ковариантные компоненты первого метрического тензора

дискриминант метрического тензора

символы Кристоффеля второго рода

Построенная параметризация справедлива и для односвязной области с гладким контуром С, если в приведенных в данном

Рис. 7.11

разделе соотношениях положить Она нашла применение для анализа нелинейного деформирования гибких пластин и пологих оболочек, имеющих сложную форму в плане (см., например, [43]).