5.7. Применения метода деформации поверхности отсчета. Методические замечания к построению численно-аналитических алгоритмов параметризации

Изложенный метод параметризации поверхности сложной формы при рассмотрении задач механики оболочек требует подходящего выбора поверхности отсчета (базы параметризации [17]). При этом следует учитывать, что геометрия поверхности отсчета и зависящая от ее выбора функция в значительной степени определяют структуру уравнений теории оболочек (см., например, [65—67], [71]). Поэтому при расчете конкретных оболочек в качестве базы параметризации целесообразно выбрать поверхности сравнительно простой формы (например, плоскость, сферу, цилиндр). Однако данное обстоятельство, являющееся существенным при аналитическом решении задач теории оболочек, может оказаться второстепенным при использовании численных методов.

Иллюстрацией сказанному служит рассмотренный ниже класс оболочек сложной формы, для параметризации срединной

поверхности которых в качестве поверхности отсчета удобно выбрать цилиндрическую поверхность.

На практике встречается класс незамкнутых оболочек сложной формы, контурные линии которых лежат в трех плоскостях, причем две из них перпендикулярны третьей (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Для параметризации срединной поверхности таких оболочек в качестве поверхности отсчета целесообразно выбрать круговую цилиндрическую поверхность радиуса с осью вращения, перпендикулярной плоскостям и лежащей либо в плоскости а, (см. рис. 5.3), либо в некоторой плоскости, параллельной При этом поверхность отсчета необходимо расположить таким образом, чтобы функция и ее производные по координатам удовлетворяли условиям взаимной однозначности отображения (5.64). Отнесем выбранную поверхность к осевой координате (расстоянию от плоскости вдоль образующей цилиндра) и полярному углу (см. рис. 5.3). При этом, как следует рисунка,

откуда получаем формулы для

С учетом этих формул для коэффициентов имеем выражения

В соответствии с (5.131)

Внося выражения (5.143)-(5.145) в формулы (5.134), получим

а в соответствии с формулами (5.136)

Рис. 5.4

Подставляя (5.146) в (5.141), после ряда преобразований находим символы Кристоффеля

где согласно формуле (5.138)

Выведенные формулы справедливы для любой оболочки сложной формы, срединная поверхность которой параметризована отображением на нее круговой цилиндрической поверхности отсчета.

Можно отметить следующие виды оболочек, при расчете которых целесообразно использовать рассмотренную параметризацию: 1) оболочки сложной формы, замкнутые в окружном направлении которых торцевые сечения лежат в двух параллельных плоскостях; 2) незамкнутые оболочки (панели) с проекцией контура на поверхности совпадающей с отрезками координатных линий Типичным примером оболочек такого класса является панель, вырезанная из оболочки вращения сечениями и некоторой плоскостью параллельной плоскости (рис. 5.4). Если срединную поверхность такой оболочки отнести к ее линиям кривизны (к линиям параллелей и

меридианов), то область оказывается неканонической. В то же время если ввести в рассмотрение цилиндрическую поверхность отсчета некоторого радиуса с осью, проходящей через точку и параллельной оси поверхности вращения то проекциями контурных линий на поверхности являются линии ее образующей Следовательно, в координатах такой цилиндрической поверхности отсчета область оказывается канонической.

Построим для оболочек описанного вида функцию Пусть поверхность вращения задана уравнением

Согласно рис. 5.4 имеем

Из рассмотрения треугольника следует равенство

или, учитывая, что

откуда

Внося сюда из (5.150), будем иметь

При должно выполняться равенство поэтому в окончательном виде получим

Располагая выражением (5.151), по формулам могут быть найдены все величины, характеризующие геометрию поверхности а, которые входят в уравнения механики оболочки. Задачи статики оболочек этого класса изучены в работе [64].

В заключение обратим внимание читателей на работы [3, 69], в которых равенство вида (5.64) используется при построении теории многослойных оболочек, имеющих переменную толщину слоев.

Перейдем к рассмотрению численно-аналитических алгоритмов решения задач параметризации для оболочек сложной формы на основе метода деформации поверхности отсчета.

Методы параметризации для оболочек, изложенные в рассмотренной главе, приводят к необходимости дифференцирования скалярных функций, обеспечивающих отображения вида (5.2), (5.3).

Если отображающие функции (5.3) заданы в виде явных аналитических выражений, то формулы (5.6), (5.7), (5.14) позволяют получить все необходимые выражения для компонент фиктивных деформаций, метрического тензора и символов Кристоффеля, которые входят в уравнения механики оболочек произвольной формы.

При дискретном задании значений отображающих функций (5.3) для вычисления производных применимы конечно-разностные методы, изложенные в разделе 2.4. Сетка узлов на поверхности отсчета при этом должна быть регулярной. Конечно-разностные методы требуют задания большого числа значений дифференцируемой функции для достижения необходимой точности вычисления искомых величин (5.6), (5.7), (5.14). Это обстоятельство существенно ограничивает область применения конечно-разностных формул для решения задач параметризации.

Более высокую точность вычисления производных в этом случае обеспечивает интерполяционные многочлены. Если оболочка является замкнутой по одной из координатных линий, то для интерполирования функции (5.3) удобно применять тригонометрические многочлены (2.8), которые обладают свойством периодичности и обеспечивают одинаковую точность на всем интервале изменения координатной линии. Для незамкнутых оболочек при интерполировании функций (5.3) естественно применять алгебраические интерполяционные многочлены Лагранжа (2.7). Следует отметить, что на практике редко применяются алгебраические многочлены выше седьмой степени, так как многочлены высоких степеней могут приводить к значительным ошибкам при вычислении производных вблизи крайних узлов интервала интерполирования. Менее подвержены этому недостатку сплайны, алгоритмы построения которых изложены в разделах 2.4-2.6.

Наиболее удобны для практических приложений кубические сплайны (2.22), (2.27), (2.29). Если значения производных на краях интервала интерполирования неизвестны, то их необходимо вычислить одним из методов, изложенных в разделах 214, 2.5.

При хаотическом расположении заданных значений отображающих функции необходимо воспользоваться двумерными алгебраическими многочленами (3.9), коэффициенты которых определяются на основе метода наименьших квадратов [5,7,47]. Алгоритм метода наименьших квадратов для этого случая изложен в разделе 3.3 (см. расчетные выражения (3.11), (3.13), (3.15), (3.17)). . Удобство применения двумерных алгебраических многочленов состоит в том, что при этом получаются явные аналитические выражения для всей рассматриваемой области на поверхности отсчета.

Метод наименьших квадратов целесообразно применять и при регулярном расположении заданных узлов, если заданных значений отображающих функций больше, чем необходимо для построения двумерного алгебраического многочлена (3.10).

Если заданные значения расположены в узлах нерегулярной сеткн, то для интерполирования необходимо применять двумерные сплайны, алгоритм построения которых изложен в разделе 3.6. Этот подход наиболее удобен при применении метода конечных элементов для решения уравнений механики оболочек произвольной формы.

В заключение отметим, что варианты применения численных методов в алгоритме метода деформации поверхности отсчета не ограничиваются изложенными методическими рекомендациями. Рассмотренные выше варианты применения численных методов аппроксимации являются наиболее употребительными. Вычислительная математика располагает и другими методами восполнения дискретно заданных функций [5, 7, 11, 12, 47, 48, 52, 102, 108]. При построении практического алгоритма для решения определенного класса задач параметризации и аппроксимации исследователь может выбрать наиболее эффективный метод из арсенала методов вычислительной математики.