2.6. Интерполирование линий функциональными сплайнами

Кубические сплайны, как отмечено выше, имеют определенные преимущества перед алгебраическими многочленами при решении задач интерполирования или аппроксимации функций. Однако если аппроксимируемая функция имеет резкие изменения и значительно отличается от кубического многочлена в промежутке между узлами сплайна, то применение кубических сплайнов не обеспечивает необходимой точности приближения аппроксимируемой функции. Для увеличения точности в таком промежутке необходимо ввести дополнительные узлы, что не всегда применимо или оправдано. Далее, некоторые кривые могут иметь резкие локальные изменения, которыми необходимо управлять в процессе расчетов, проектирования или оптимизации формы конструкции. Кубические сплайны не позволяют построить эффективные алгоритмы для решения таких геометрических задач.

Рассмотрим применение экспоненциальных сплайнов [49, 82, 117, 119, 120] для эффективного решения указанных выше задач аппроксимации. Экспоненциальный сплайн будем строить на основе теории функциональных сплайнов, изложенной в работах .

Пусть искомый сплайн удовлетворяет следующему векторному дифференциальному уравнению согласно теории -сплайнов:

где -вектор произвольной точки сплайна, аппрок» симирующего пространственную линию -линейный симметричный дифференциальный оператор, соответствующий дифференциальному оператору уравнения продольно-поперечного изгиба стержня; —некоторые весовые функции, аналогичные изгибной жесткости и осевой нагрузке стержня.

От уравнения (2.62) перейдем к энергетическому функционалу

Краевые условия для уравнения (2.62), при которых оператор симметричен и допускает построение функционала (2.63),

имеют вид

где в -некоторые произвольные постоянные, которые в дальнейшем исключаются из расчетных выражений.

Для построения экспоненциального векторно-параметрического функционального сплайна весовые функции в функционале (2.63) примем в виде кусочно-постоянных функций на интервалах сетки Согласно точному решению уравнения (2.62) выражение для сплайна имеет вид

где — заданные значения радиуса-вектора кривой а согласно условиям интерполирования -выбранные значения параметра для кривой а на сетке

Подставляя выражение (2.65) в функционал (2.63) и минимизируя его, получаем систему векторных линейных алгебраических уравнений

в которой -квадратные матрицы порядка полученные из матриц согласно алгоритму МКЭ,

— вектор-столбцы, составленные из соответствующих значений векторных величин;

— правая часть системы (2.66), связанная с более удобными краевыми условиями для уравнения (2.62), чем условия (2.64);

— квадратная числовая матрица порядка

Для экспоненциальных сплайнов, так же как и для кубических, возникает проблема краевых условий. При получении системы (2.66) приняты следующие краевые условия для сплайна:

где -значения производных на концах кривой а, которые должны быть заданы или вычислены.

Опишем первый способ вычисления производных в (2.67) для кривой, основанный на минимизации функционала реакций сплайна [59, 60, 87]. Рассмотрим следующий квадратичный функционал реакций:

где

реакции сплайна, аналогичные реакциям для стержня в условиях продольно-поперечного изгиба и вычисляемые на основании выражений (2.65).

Сплайн в этом случае удобно записать через фундаментальные экспоненциальные сплайны в виде

где -сплайн, построенный при

-сплайн, построенный при

-сплайн, построенный при

—некоторый единичный вектор,

Дополнительные уравнения для нахождения производных в (2.67) получаются из условий минимума функционала (2.69), которые имеют вид

В результате решения системы уравнений (2.66), (2.70) находим все коэффициенты, определяющие экспоненциальный векторно-параметрический сплайн (2.65).

Рассмотрим второй способ вычисления производных в краевых условиях (2.67), основанный на применении для крайних участков сплайна специальных аппроксимирующих функций, являющихся точным решением векторного уравнения (2.62):

где -постоянные векторы, подлежащие нахождению из условий интерполяции; для интервала для интервала

Запишем следующие условия интерполяции для функций (2.71):

Решая системы (2.72), находим векторы Подставляя их в выражение (2.71), определяем выражение для экспоненциального сплайна на участках Коэффициенты сплайна входящие в выражения (2.71), (2.72), найдем из системы (2.66). С этой целью систему (2.66) запишем для интервала сплайна и примем следующие условия:

где вычисляются согласно выражениям (2.71).

В результате этих преобразований получается система линейных векторных алгебраических уравнений относительно коэффициентов сплайна По известным величинам сплайн и его производные вычисляются на всех участках: на по формуле (2.71) при на по формуле (2.72) при на по формулам (2.65) при

Нетрудно видеть, что рассмотренный способ построения сплайна в главных чертах аналогичен способу построения кубического сплайна (2.22), (2.33), (2.36).

Перейдем к анализу полученных соотношений для экспоненциальных сплайнов. Если на некотором участке сплайна принять то аппроксимирующая функция (2.65) становится известным кубическим многочленом (2.22).

Если на некотором участке сплайна принять где -наибольшее значение весовой функции, при котором оператор меняет знак с положительного на отрицательный, согласно формулам Эйлера Сплайн на участке преобразуется в тригонометрический. При этом в выражениях (2.65), (2.66), (2.71) гиперболические функции выражаются через тригонометрические. Согласно физическому смыслу уравнения (2.62) при на участке происходит спрямление аппроксимирующего сплайна, соответствующее действию растягивающей силы на этом участке. При на участке происходит местное выпучивание аппроксимирующего сплайна, соответствующее действию сжимающей силы на рассматриваемом участке. Случай недопустим, так как при этом наблюдается неограниченное местное выпучивание аппроксимирующего сплайна, соответствующее потере устойчивости стержня под действием внешних сжимающих нагрузок.

Подбирая значения коэффициентов можно управлять формой аппроксимируемых линий при задании сложных поверхностей или оптимизации их формы согласно принятым критериям. При этом коэффициенты на некотором выбранном участке сплайна позволяют управлять его формой беаг изменения заданных значений для кривой