5.5 Отображение на поверхность сложной формы некоторой поверхности отсчета методом фиктивной деформации с помощью одной функции

Срединные поверхности оболочек сложной формы, встречающихся на практике, зачастую в некотором смысле близки к хорошо изученным поверхностям канонических очертаний. Так, например, цилиндрическую поверхность эллиптического поперечного сеченця можно считать близкой к цилиндрической поверхности кругового сечения, срединная поверхность панели малой подъемистости близка к плоскости и т. д. Рассматривая в дальнейшем такие оболочки, будем предполагать, что можно ввести в рассмотрение некоторую

Рис. 5.1

Рис. 5.2

поверхность канонического очертания таким образом, чтобы прямая, проведенная по направлению нормали пересекала заданную поверхность а не более одного раза. В этом случае для параметризации поверхности а можно воспользоваться методом, изложенным в предыдущем разделе, считая поверхность о образованной в результате фиктивной деформации указанной поверхности

Назовем поверхность поверхностью отсчета и предполагаем ее в дальнейшем заданной уравнением вида (5.1)

Для рассматриваемого класса оболочек весьма просто устанавливается вектор фиктивных перемещений входящий в (5.2). Так как по предположению любая прямая, проведенная по направлению нормали пересекает поверхность а лишь в одной точке, то компоненты вектора (5.3) можно положить равными нулю. Функция в этом случае, очевидно, будет представлять собой расстояние между точкой и точкой и вектор (5.3) примет вид (рис. 5.1)

т. е. расстояние между некоторой точкой поверхности с и ее проекцией на имеет смысл перемещения в направлении нормали при фиктивном деформировании поверхности Поэтому векторное равенство

приводящее при введенных выше предположениях во взаимнооднозначное соответствие поверхность отсчета с поверхностью а, устанавливает параметризацию поверхности а методом фиктивной

деформации поверхности отсчета с помощью одной функции, причем в частном случае, когда выражает согласно (5.43) эквидистантную поверхность а (рис. 5.2).

Принимая во внимание приведенные рассуждения и оговоренные выше ограничения, отображение в их окрестности можно представить как суперпозицию двух последовательных локальных отображений:

1) точки с координатами с помощью (5.43) в точку принадлежащую поверхности а, эквидистантной (параллельной) в точке с координатами (скаляр есть расстояние от точки до точки измеренное в направлении нормали

2) точки о в точку на искомой поверхности согласно локальному равенству

справедливому в окрестности точки

Таким образом, поверхность а задается относительно точки локально уравнениями (5.43) и (5.65), причем

и поскольку то в точке

но ее производные по координатам в общем случае отличны от нуля. Они, очевидно, в силу (5.66) равны

где для производной от скалярной функции введено новое обозначение. Заметим, что функция есть ковариантный тензор 1-го ранга. Для всех точек такое отображение обобщается как суперпозиция гомеоморфизмов

Дифференцируя (5.65) по установим координатные векторы в точке

Выражение в круглых скобках для последнего равенства согласно (5.46) есть тензор переноса Принимая во внимание свойства тензоров переноса [17] и формулы (5.45), (5.50), преобразуем это равенство к виду

Вводя тензор переноса 2-го ранга по формуле

вместо (5.69) можно записать

Формула (5.71) справедлива всюду в окрестности точки а в самой точке согласно (5.67), очевидно, имеем

Как «оказывает анализ (5.71), первая составляющая тк в соответствии с (5.45) компланарна векторам на и лежит в плоскости, касательной в точке к эквидистантной поверхности о. В силу этого когда можно ввести в рассмотрение два основных базиса Для первого базиса векторы суть координатные векторы на с и направлены по касательным к координатным линиям (образ координатных линий а вектор является единичным и направлен по нормали к а. Второй вспомогательный (промежуточный) базис является основным для поверхности а и его орт нормали удовлетворяет равенству

Наличие в каждой точке поверхности а двух таких базисов, взаимосвязанных между собой, позволяет построить различные варианты основных соотношений, описывающих механику оболочек.

Перейдем к вычислению метрических тензоров поверхности а. Прежде всего заметим, что в соответствии с (5.45) и (5.73) имеют место формулы так как Поэтому подстановкой (5.71) в формулы (1.26) приходим к следующим выражениям для ковариантных компонент первого метрического тензора на :

Заменяя тензоры переноса согласно равенству (5.70), вместо (5.74) получим

Здесь величины вычисляются по формулам вида (5.47), (5.49) и являются ковариантными компонентами первого метрического тензора эквидистантной поверхности о, проведенной через

рассматриваемую точку. Для самой точки равенство (5.75) примет вид

Третья квадратичная форма поверхности о определяется зависимостью вида (5.48)

исходя из которой несложно преобразовать (5.75) и тем самый будем иметь

Составляющая и (5.78) связана с вектором (или и появляется вследствие неэквидистантности искомой поверхности а по отношению к поверхности отсчета . В соответствии с этим тензор тангенциальных фиктивиых деформаций связанный с тензорами равенствами (5.7), также целесообразно записать, опираясь на (5.75), в форме

где через

обозначены тензоры тангенциальных фиктивных деформаций для эквидистантной поверхности а. В точке поверхности а в силу вместо (5.79) получаем

Для дискриминанта первого метрического тензора поверхности а в соответствии с (5.75) имеем

Принимая во внимание возможные преобразования слагаемых в инварианты

и вводя первый дифференциальный параметр Бельтрами поверхности а по формуле

где -контравариантный эквивалентный поверхностный тензор 1-го ранга, полученное ранее выражение для дискриминанта а целесообразно преобразовать к виду

Это же равенство следует и из результатов раздела 5.2, если принять, что при отображении

а тензор фиктивных тангенциальных деформаций поверхности в а определяется равенствами (5.8) и Тогда

и после раскрытия скобок найдем

где по аналогии с (5.10) введено новое обозначение

Заменяя в (5.86) ковариантные компоненты тензора фиктивных деформаций отображения выражениями вида (5.8)

а затем, раскрывая входящие в них слагаемые с помощью (5.85), после ряда преобразований в силу (5.82) приходим к результату, аналогичному (5.84). Отсюда следует, что

В точке где формулы (5.84) и (5.89) упрощаются

Между контравариантными компонентами дискриминантиых тензоров поверхностей можно записать связь

Из трех векторов триэдра на поверхности о остается неопределенным выражение для вектора единичной нормали Воспользуемся для его вычисления формулой справедливой и для рассматриваемого случая. Внося в нее выражения для базисных векторов (5.69) и принимая во внимание зависимости для векторных составляющих триэдра, найдем

Учитывая обозначение (5.87), вместо (5.92) можно записать

где введены коэффициенты

С привлечением матриц переноса равенство (5.93) принимает вид

где обозначено

В точке опираясь на вместо (5.92), (5.94) и (5.96) приходим к следующим упрощениям:

вытекающим из условий

причем в этом случае определяется формулой (5.90).

Установим в точке значения контравариантных компонент первого метрического тензора поверхности а через значения поверхности а. Воспользовавшись равенствами (5.91) и (5.76), нетрудно найти

откуда, принимая во внимание формулы и выражение (5.87), получим зависимости

которые в рамках (5.90) упрощаются к виду

Следует отметить, что формулы (5.99), (5.100) являются дискретными и справедливы только для точки исключая ее окрестности, т. е. они неприемлемы в качестве объекта дифференцирования по аргументам

Получим теперь формулы для определения векторов взаимного подвижного базиса в точке на поверхности а. Учитывая, что в этой точке воспользуемся формулами (5.72) и (5.100)

С помощью тензора переноса равенство (5.101) удобно записать в виде

где обозначено

Как и формулы (5.100), дискретные соотношения (5.101)-(5.103) нельзя использовать для дифференцирования по контравариантных базисных векторов поверхности о.

Найдем выражение для допускающие операции их дифференцирования. Повторяя вывод, аналогичный (5.99), но вместе с тем опирающийся на представление в окрестности точки с помощью (5.75), получим

где введены обозначения контравариаитных компонент второго и третьего метрических тензоров поверхности

Дифференцируя первые две части равенств (5.93) по будем иметь

где, как и в (5.12), приняты обозначения

Подстановка (5.106) и (5.71) в зависимости по аналогии с (5.13) доставляет формулу

Входящие в (5.108) сомножители содержат слагаемые в внде ковариантных производных по от компонент поверхностного тензора и скаляра определенных в (5.94), а именно

где частные производные допускается вычислять исходя только из зависимостей (5.94). Иначе говоря, производная отыскивается для выражения, записанного в окрестности точки откуда следует

Для точки полученные равенства упрощаются и принимают вид

Подставляя их в (5.109) вместе с (5.97). (5.98), а результат в свою очередь в (5.107), найдем

Таким образом, в точке формула (5; 108) для ковариантных компонент второго метрического тензора поверхности а в силу сводится к выражению

Принимая во внимание (5.76), равенство (5.111) несложно преобразовать к виду

Для вычисления символов Кристоффеля поверхности а, выраженных через параметры эквидистантной поверхности а, целесообразно привлечь формулу устанавливающую связь символов Кристоффеля 1-го рода со скалярным произведением базисных векторов. Данное соотношение содержит производную от базисного вектора, которую необходимо предварительно найти. С этой целью обе части равенства (5.76) продифференцируем по тогда

Подставляя результат в предыдущее выражение и учитывая, что найдем зависимости

которые в процессе замены компонент тензора переноса их значениями из (5.70) в силу принимают вид

и являются справедливыми всюду в окрестности точки Для самой точки соотношения (5.113), определяющие символы

Кристоффеля 1-го рода поверхности о, оказываются такими:

Здесь -символы Кристоффеля 1-го рода на поверхности а.

Подставляя теперь соотношения (5.114) и (5.100) в формулу для точки находим

Так как Нкакт — то приведенное равенство после ряда преобразований примет вид

или

где

По предположению параметры являются независимыми для всех точек поверхности отсчета при ее параметризации уравнением . В то же время отдельные точки поверхности а, параметризованной (5.65), могут оказаться особыми, если в них выполняется условие Подстановка сюда выражений (5.72) приводит к векторному равенству

которое согласно (1.33) и формулам

принимает вид

В точках поверхности о дискриминант а поверхности а, эквидистантной выражается формулой вида

и в нуль не обращается ни в одной точке, если соответствующая точка на является обыкновенной. Отсюда следует, что уравнение (5.65) будет выражать поверхность а лишь в том случае, если во всех ее точках имеет место неравенство

Выясним, наконец, геометрический смысл величин Для этого, используя (5.72), вычислим углы между векторами по формулам

следовательно,

Из (5.119) следует, что векторы лежат в одной плоскости, если величины иначе говоря, . В этом случае устремляется к бесконечности и коэффициент искажения площади а в точке определяемый по формуле

Итак, параметризация поверхности сложной формы в соответствии с изложенным методом заключается в подборе соответствующей параметризованной поверхности отсчета а, и вустановлении расстояния между поверхностью а и поверхностью отсчета измеренного в направлении нормали к Тем самым в каждой точке определяются основные координатные векторы и вектор единичной нормали а также векторы взаимного базиса связанные с базисными векторами поверхности отсчета соотношениями (5.71), (5.95) и (5.101), в которых векторы выражаются по формулам (5.45).

При построении соотношений теории оболочек произвольный вектор а может быть представлен в виде разложений по базисным векторам поверхности а:

по базисным векторам поверхности а, проведенной через рассматриваемую точку эквидистантно поверхности

а также по базисным векторам поверхности отсчета (очевидно, ):

В соответствии с данными разложениями дифференцирование вектора а сводится к дифференцированию базисных векторов Такое дифференцирование выполняется по формулам (1.23) и (5.4), причем входящие в (1.23) и символы Кристоффеля и коэффициенты второй квадратичной формы через величины поверхности отсчета и функцию выражаются зависимостями (5.115), (5.112). В данные зависимости входят величины относящиеся к эквидистантной поверхности , проведенной через рассматриваемую точку. Для коэффициентов имеют место формулы (5.49) и (5.51), а символы Кристоффеля через соответствующие коэффициенты первой квадратичной формы выражаются по формулам вида (1.25)

В соответствии с формулами (5.7) коэффициенты представимы в виде

где согласно (5.47), (5.80)

а символы Кристоффеля определяемые по формулам (5.115), представимы в виде суммы трех составляющих

а также (см. (5.116))

где определяется формулой (5.117), а

Здесь определяемые равенствами (5.122), являются составляющими компонент фиктивных деформаций поверхности в результате которых поверхность переходит в поверхность , так как

В соответствии с разделами 1.8 и 5.2 тензор третьей валентности является тензором аффинной фиктивной деформации поверхности соответствующей отображению (5.64), и он позволяет установить связь между ковариантными производными относительно некоторого вектора по формулам (5.18).

Его представление в виде суммы имеющее место в силу (5.49), позволяет установить такие же зависимости между ковариантными производными относительно

которые широко могут быть использованы при построении различных вариантов соотношений теории оболочек сложной формы.