1.5. Регулярная поверхность и ее параметризация.

Основной и взаимный базисы на поверхности

Изучение деформирования оболочки связано с изучением ее срединной поверхности или так называемой поверхности приведения, не обязательно совпадающей со срединной поверхностью.

Поверхность представляет собой некоторый двумерный топологический образ (двумерное многообразие) плоскости в трехмерном пространстве!

Дифференциальная геометрия рассматривает поверхность как геометрическое место точек, определяемых векторным уравнением - [40, 57, 74, 106, 107]

выражающим тот факт, что радиус-вектор некоторой точки на поверхности представляет собой функцию двух независимых параметров называемых криволинейными или гауссовыми координатами. Если обозначить через координаты указанной точки относительно некоторой системы координат в пространстве, то векторное уравнение поверхности (1.16)

в скалярной форме доставляет три равенства

где -регулярные раз непрерывно дифференцируемые) функции.

Поверхность называется аналитической, если она в достаточно малой окрестности каждой своей точки допускает аналитическую параметризацию (функции аналитические).

Уравнение (1.16) при фиксированном или дает кривую, лежащую на поверхности. Эти кривые называются координатными линиями. При этом любую точку на поверхности можно рассматривать как пересечение координатных линий и определять ее положение заданием значений

Для частных производных от по координатам примем обозначения

Согласно определению частной производной означает производную от по при фиксированном При этом конец вектора при изменении описывает линию следовательно, направлен по касательной к линии Вектор направлен по касательной к линии Таким образом, векторы в данной точке поверхности лежат в касательной

плоскости. Эти векторы называются основными координатными векторами.

Уравнение (1.16) выражает регулярную поверхность только в том случае, если переменные суть независимые параметры. Необходимым и достаточным условием того, чтобы параметры были зависимыми, является коллинеарность векторов в каждой точке поверхности, т. е. равенство нулю векторного произведения

Требование независимости параметров предполагает, что равенство (1.18) не выполняется тождественно. Однако в отдельных точках поверхности произведение может обращаться в нуль; такие точки носят название особых точек поверхности в противоположность обыкновенным точкам, в которых это произведение отлично от нуля. Такое определение особой точки, вообще говоря, связано с заданным аналитическим ее выражением, с ее параметризацией. Поэтому, обнаружив особую точку поверхности, необходимо исследовать, обусловливается ли это особенностью геометрической структуры поверхности или способом ее задания, так как точка, признаваемая особой при одной параметризации поверхности, может оказаться обыкновенной при другой параметризации.

Введем единичный вектор нормали к поверхности и обозначим его через Он ортогонален векторам и связан с ними соотношением

где -модуль векторного произведения .

Тройку векторов называют основными векторами поверхности, образующими в совокупности основной триэдр, или базис поверхности. В дальнейшем будем его считать базисом правой ориентации.

Если все точки поверхности являются обыкновенными, то основные векторы нигде не лежат в Одной плоскости. Отсюда следует, что любой вектор а может быть представлен в виде разложения

Три числа представляющие собой численные коэффициенты разложения, называются контравариантными компонентами вектора а в выбранной системе координат.

Наряду с основным координатным триэдром в теории поверхностей используется также и взаимный триэдр, или базис в котором векторы сопряженные с основным и направленные по нормалям к координатным линиям определяются по

формулам

и удовлетворяют условиям

Здесь представляет собой смешанное скалярно-векторное произведение; через обозначены символы Кронекера.

Используя взаимные векторы, произвольный вектор а можно также представить в виде разложения

в котором коэффициенты разложения называются ковариантными компонентами вектора а. В силу равенств в принятой системе координат входящие в (1.20), (1.22) компоненты равны между собой: