8.2. Параметризация области неканонического очертания на поверхности канонической формы
Пусть срединная поверхность о незамкнутой оболочки является канонической (например круговой цилиндр или конус), а область
на ней, ограниченная четырьмя гладкими кусками контурных линий
неканоническая в известной параметризации поверхности а, заданной уравнением
Такие оболочки будем называть оболочками со сложным контуром. В зависимости от очертания области
задача параметризации их срединной поверхности а может быть решена различными способами. Так, если для оболочки удается подобрать в трехмерном пространстве такую поверхность отсчета
на которой нормальная проекция области
о является канонической в некоторой параметризации
поверхности
то для параметризации области
при выполнении условий взаимной однозначности можно использовать метод, изложенный в главе 6 (к такому классу, в частности, можно отнести оболочки, рассмотренные в разделе 5.7). Если область
оболочки имеет сложную форму в плане и выполняется условие взаимной однозначности отображения плоскости отсчета
на поверхность а, то для параметризации области
можно пользоваться методом, изложенным в разделе 8.1, основанным на суперпозиции двух последовательных отображений (8.2) и (8.6).
Наряду с указанными способами для параметризации области
оболочек со сложным контуром можно использовать также подход, который применен в главе 7 для параметризации областей сложных очертаний на плоскости. Исходя из этого на поверхности а, отнесенной к параметризации (8.15), выберем некоторую каноническую область
ограниченную отрезками координатных линий
Предположим, что область
может быть приведена во взаимно однозначное соответствие с канонической областью
а при помощи векторного равенства
Здесь
— радиус-вектор некоторой точки
находящейся на поверхности, определяемой уравнением (8.15), и переходящей в точку
за счет фиктивной деформации области
обусловленной вектором фиктивных перемещений
Рассмотрим случай параметризации поверхности а произвольными ортогональными координатами. Обозначим через
единичные векторы координатных линий
и вектор единичной нормали в точке Тогда вектор фиктивных перемещений
этой точки в общем случае может быть представлен в виде разложения
где
Используя формулы (8.21), найдем
где приняты обозначения
Внося (8.25) в (8.23), имеем
Дифференцируя полученное выражение (8.26) по воспользовавшись при этом формулами (8.18), найдем
где приняты обозначения
Внося выражения (8.19) и (8.27) в формулы
и учитывая, что
найдем ковариантные компоненты второго метрического тензора в точке
находящейся на поверхности, определяемой (8.17):
Для построенных базисных векторов
и взаимных векторов
имеют место формулы Гаусса-Вейнгартена обычного вида
в которых символы Кристоффеля второго рода
определяются по формулам (5.141) подстановкой в них выражений (8.21).
Проиллюстрируем изложенный подход к параметризации срединной поверхности оболочки со сложным контуром на простейшем примере, рассмотренном в следующем разделе.