8.2. Параметризация области неканонического очертания на поверхности канонической формы

Пусть срединная поверхность о незамкнутой оболочки является канонической (например круговой цилиндр или конус), а область на ней, ограниченная четырьмя гладкими кусками контурных линий неканоническая в известной параметризации поверхности а, заданной уравнением

Такие оболочки будем называть оболочками со сложным контуром. В зависимости от очертания области задача параметризации их срединной поверхности а может быть решена различными способами. Так, если для оболочки удается подобрать в трехмерном пространстве такую поверхность отсчета на которой нормальная проекция области о является канонической в некоторой параметризации поверхности то для параметризации области при выполнении условий взаимной однозначности можно использовать метод, изложенный в главе 6 (к такому классу, в частности, можно отнести оболочки, рассмотренные в разделе 5.7). Если область оболочки имеет сложную форму в плане и выполняется условие взаимной однозначности отображения плоскости отсчета на поверхность а, то для параметризации области можно пользоваться методом, изложенным в разделе 8.1, основанным на суперпозиции двух последовательных отображений (8.2) и (8.6).

Наряду с указанными способами для параметризации области оболочек со сложным контуром можно использовать также подход, который применен в главе 7 для параметризации областей сложных очертаний на плоскости. Исходя из этого на поверхности а, отнесенной к параметризации (8.15), выберем некоторую каноническую область ограниченную отрезками координатных линий Предположим, что область может быть приведена во взаимно однозначное соответствие с канонической областью а при помощи векторного равенства

Здесь — радиус-вектор некоторой точки находящейся на поверхности, определяемой уравнением (8.15), и переходящей в точку за счет фиктивной деформации области обусловленной вектором фиктивных перемещений

Рассмотрим случай параметризации поверхности а произвольными ортогональными координатами. Обозначим через единичные векторы координатных линий и вектор единичной нормали в точке Тогда вектор фиктивных перемещений этой точки в общем случае может быть представлен в виде разложения

с учетом которого равенство (8.16), определяющее положение точки примет вид

Входящие сюда функции как и в главе 7, должны быть непрерывными, необходимое число раз дифференцируемыми и обеспечивающими взаимно однозначное соответствие контурных линий области контурным линиям области При соблюдении этих требований семейству координатных линий в области взаимно однозначно соответствует новое семейство координатных линий

Для производных векторов по координатам имеют место формулы

в которых -параметры Ляме в точке кривизны и кручение координатных линий в рассматриваемой точке. Пользуясь этими формулами, дифференцированием (8.17) по находим основные базисные векторы в точке

где

Внося выражения (8.19) в формулы найдем ковариантные компоненты первого метрического тензора в точке

Здесь

— физические компоненты тензора фиктивной деформации области

Вектор единичной нормали в точке определяется выражением где -дискриминант метрического тензора (8.21) в точке Внося сюда выражения (8.19), получим

где

Используя формулы (8.21), найдем

где приняты обозначения

Внося (8.25) в (8.23), имеем

Дифференцируя полученное выражение (8.26) по воспользовавшись при этом формулами (8.18), найдем

где приняты обозначения

Внося выражения (8.19) и (8.27) в формулы и учитывая, что найдем ковариантные компоненты второго метрического тензора в точке находящейся на поверхности, определяемой (8.17):

Для построенных базисных векторов и взаимных векторов имеют место формулы Гаусса-Вейнгартена обычного вида

в которых символы Кристоффеля второго рода определяются по формулам (5.141) подстановкой в них выражений (8.21).

Проиллюстрируем изложенный подход к параметризации срединной поверхности оболочки со сложным контуром на простейшем примере, рассмотренном в следующем разделе.