7.6. Параметризация неканонических областей на плоскости, имеющих более четырех угловых точек

Рассмотрим, каким образом формулировать задачи механики пластин и оболочек, если область на их срединной плоскости или поверхности ограничена контуром С, содержащим более четырех угловых точек.

При формулировке задач для пластин и оболочек такого очертания можно использовать следующие два подхода.

Первый из них является приближенным и заключается в замене области указанного вида некоторой областью с четырьмя угловыми точками путем сглаживания контурных линий в окрестности остальных угловых точек. Такой подход широко используется при решении плоских задач теории упругости с применением теории конформных преобразований областей сложных очертаний.

Второй подход является точным и заключается в разбиении области на некоторое количество подобластей каждая из которых ограничена контуром с четырьмя угловыми точками, в формулировке и решении соответствующей задачи в выбранных подобластях и последующей стыковке этих решений на общих границах смежных подобластей.

Рассмотрим задачу параметризации области на плоскости на основе описанного второго подхода. Пусть область на плоскости а ограничена контуром С, содержащим, например, девять угловых точек (рис. 7.12). Любую область , имеющую более четырех угловых точек, можно разделить на некоторое количество подобластей каждая из которых ограничена контуром

Рис. 7.12

состоящим из четырех гладких кусков Рассматриваемую область разделим на четыре подобласти (как показано на рис. 7.12, границы подобластей изображены штриховыми линиями). Заметим, что в способе разбиения области имеется определенный произвол. Предположим далее, что в некоторой параметризации подобласти (или часть из них) являются неканоническими. Выберем на а некоторую фиктивную область топологически соответствующую области и составленную из таких канонических подобластей каждую из которых можно отобразить на соответствующую ей подобласть по методу раздела 7.2, т. е. с помощью векторных равенств -номера подобластей

Здесь радиусы-векторы некоторой точки и соответствующей ей в области точки -базисные векторы в точке соответствующие уравнению плоскости -некоторые непрерывные функции, имеющие смысл ко- и контравариантных компонент вектора фиктивных перемещений точки которые должны быть построены исходя из требований, сформулированных ниже.

При построенных отображениях (7.50) в каждой точке могут быть найдены: базисные векторы

ковариантные компоненты первого метрического тензора

символы Кристоффеля второго рода

Рис. 7.13

Рис. 7.14

и другие геометрические величины, входящие в соотношения теории оболочек.

Введенные в рассмотренные функции на контуре С должны удовлетворять тем же условиям, которые были сформулированы в разделе 7.2; например, отрезок 6—7 контура должен взаимно однозначно отображаться на отрезок 6—7 контура С (см. рис. 7.12) и т. д. На внутренних контурных линиях, являющихся общими для смежных подобластей, векторы определяемые равенствами (7.50), очевидно, должны быть непрерывными. Так, например, при параметризации двух смежных подобластей (рис. 7.13), имеющих общую контурную линию соответствующую некоторой линии при должно быть выполнено условие

Внося сюда равенства (7.50), получим

В силу того, что равенство (7.53) выполнено лишь тогда, когда выполнены условия

Базисные векторы на рассматриваемой линии определяются дифференцированием соответствующих векторных равенств из (7.52) по общему аргументу Поэтому при удовлетворении условия (7.52) выполнено также и условие

С учетом (7.51) данное равенство в развернутой форме примет вид

откуда в силу

следуют скалярные равенства

Внося сюда выражения для из (7.51), получим

или в развернутой форме

Так как при имеют место равенства (7.54) и то из (7.55) окончательно следуют условия, накладываемые на производные функции на границе смежных подобластей

С целью иллюстрации изложенного подхода рассмотрим простейший пример. Пусть область ограничена контуром, состоящим из шести отрезков прямых линий (рис. 7.14). Соединяя вершины 3 и 6, разделим ее на две подобласти ограниченные контурами 1, 2, 3, 6 и 6, 3, 4, 5. В рассматриваемом случае для построения параметризации области плоскость удобнее отнести к декартовым координатам х, у, совместив координатную линию с контурной линией 12, а в качестве области выбрать прямоугольник, ограниченный отрезками координатных линий

Разделим теперь область на две подоб пасти и проведя внутри линию и отобразим их соответственно на подобласти с помощью равенств

где -орты декартовых осей координат. Входящие в (7.57) функции по аналогии с (7.31) представим в виде разложений

где -неизвестные коэффициенты. Найдем их, подчиняя (7.58) условиям

По аналогии с формулами (7.40) функции в рассматриваемом случае равны

а для определения коэффициентов подстановкой (7.58) в (7.59) приходим к двум системам алгебраических уравнений

Решая системы (7.60), (7.61), находим неизвестные коэффициенты

подстановкой которых в (7.58) получаем окончательные выражения для функций и

Непосредственной проверкой можно убедиться, что построенные функции при удовлетворяют условиям (7.54) и (7.56), которые в рассматриваемом случае записываются в виде

С использованием построенных функций в соответствующих подобластях могут быть найдены величины входящие в соотношения теории оболочек.

Особенности применения изложенного здесь подхода в комбинации с вариационными методами для анализа механики деформирования оболочек со сложным контуром, имеющих более четырех угловых точек, освещены в работе [70].