7.2. Параметризация области на плоскости методом фиктивной деформации канонической области, ограниченной отрезками ортогональных координатных линий

Предположим, что плоскость а отнесена к произвольным ортогональным координатам Наряду с областью на о введем в рассмотрение некоторую каноническую область с контуром С, совмещенным с отрезками координатных линий (рис. 7.5).

Обозначим через радиус-вектор произвольной ючки

Положение некоторой точки определим теми же гауссовыми координатами задав ее радиус-вектор уравнением

Здесь -единичные векторы координатных линий -базисные векторы координатных линий параметры Ляме):

-некоторые непрерывные функции.

Предположим, что эти функции могут быть выбраны (или найдены) так, что каждая точка взаимно однозначно отображается в точку а координатные линии соответственно в контурные линии

Геометрически отображение области на область с помощью уравнения (7.17) соответствует фиктивному деформированию первой, когда каждая ее точка получает тангенциальное перемещение Поэтому назовем его отображением области на область методом тангенциальной фиктивной деформации.

При сделанных предположениях относительно функций семейству координатных линий в области взаимно однозначно соответствует семейство координатных линий обладающее тем свойством, что на границе области при линии совпадают с контурными линиями а линии

Дифференцируя равенство (7.17) по найдем координатные векторы линий

Здесь -физические компоненты тензора поворотов, вызванные фиктивной деформацией области

Внося выражения (7.18) в формулы вычислим ковариантные компоненты первого метрического тензора в точке

где

— физические компоненты тензора фиктивной деформации области

Дискриминант а метрического тензора (7.20) с учетом (7.21) равен

подстановкой которого, а также (6.20) в формулы

вычисляются контравариантные компоненты метрического тензора в точках области . Используя эти формулы, с учетом (7.20) получаем соотношения

связывающие между собой векторы взаимного базиса в точке с единичными векторами координатных линий проходящих через точку

Для производных базисных векторов (7.18) и (7.23) имеют место формулы Гаусса-Вейнгартена обычного вида

в которых символы Кристоффеля определяются выражениями (5.141).

Координаты точек области на плоскости а в то же время определяют положение и соответствующих точек области Я. По предположению во всех точках они являются независимыми. Условием независимости координат для точек является неколлинеарность построенных в них базисных векторов Если в некоторой точке области

то в данной точке отображение (7.17) окажется вырожденным. Внесем в это равенство выражения (7.18) и учтем, что . В результате после некоторых преобразований получим

Если параметры являются независимыми для всех точек то равенство (7.24) с учетом (7.22) будет выполнено лишь при выполнении скалярного условия

Условие (7.25) может иметь место в двух случаях:

1) один из параметров Ляме в некоторой точке области равен нулю, что соответствует параметризации плоскости системой координат содержащей особую точку (например, полюс в полярной системе координат на плоскости);

2) при равенстве нулю выражения

Таким образом, отображение области на область с помощью векторного равенства (7.17) является вырожденным в некоторой точке если в ней функции и удовлетворяют условию (7.26).

Параметры определяющие на а положениеточки для всех точек являются переменными Лагранжа. Так как области принадлежат одной и той же плоскости, которая по предположению задана уравнением

то точка являющаяся образом точки в параметризации (7.27) имеет координаты Если отображение (7.17) во всех точках области является взаимно однозначным, то между параметрами можно установить взаимно однозначные зависимости вида

представляющие собой скалярную форму равенства (7.17).

Итак, положение некоторой точки определяется как координатами точки если плоскость а параметризована уравнением (7.17), так и координатами соответствующими параметризации о уравнением (7.27). При этом через каждую точку проходят две координатные линии из семейства линий соответствующих параметризации (7.17), и две ортогональные координатные линии соответствующие параметризации всей плоскости а уравнением (7.27). Если теперь предположить, что в этой точке в параметризации (7.27) известными являются некоторые тензоры то в параметризации (7.17) они могут быть определены по известным правилам преобразования компонент тензора

где, как легко показать,

С учетом зависимостей (7.28) величины через найденные значения выражаются по формулам

где -якобиан системы равенств (7.28), равный коэффициенту искажения отображения (7.17) и определяемый по формуле

Так как по определению

где

то для коэффициента искажения в соответствии с (7.22) можно получить и другое выражение:

В заключение данного раздела сделаем некоторые замечания, касающиеся задачи построения входящих в (7.17) функций

При отображении поверхности отсчета на поверхность сложной формы входящая в равенство (5.64) функция является известной и может быть представлена как некоторым аналитическим выражением (см., например, формулу (5.151), так и дискретными значениями в узлах сеточной области на поверхности выбираемой для аппроксимации поверхности

Что касается функций с помощью которых строится отображение канонической области на неканоническую область заданными для них можно считать лишь их значения в некоторых точках контурной линии области Поэтому построение этих функций представляет собой самостоятельную и довольно сложную задачу. Одно из существенных требований к решению этой задачи состоит в обеспечении по возможности равномерного коэффициента искажения во всей области О. В этом случае точкам, равномерно распределенным в области в области также соответствуют равномерно распределенные точки. При рёшении задач механики пластин со сложным контуром разностными методами удовлетворение этому условию весьма желательно, так как при равномерной разностной сетке, выбираемой в области в области также соответствует равномерная сетка.

Известно [8], что всякое равномерно распределенное множество точек на оси преобразуется в равномерно же распределенное множество точек на оси только в случае аффинного отображения -некоторые постоянные)

Данным свойством аффинных отображений можно пользоваться при построении функций представляя их в виде некоторых разложений, аналогичных (7.29).

Ниже будут рассмотрены примеры применения описанного метода для решения конкретных задач.

Рис. 7.6