6.6. О метрических формах срединной поверхности оболочки с начальными несовершенствами

Предметом всестороннего изучения теории оболочек являются задачи механики оболочек, у которых срединные поверхности имеют так называемые начальные неправильности или начальные несовершенства. Такие несовершенства в форме срединной поверхности могут возникать как в процессе изготовления оболочек, так и в процессе их эксплуатации. Известно, что начальные несовершенства могут значительно повлиять как на значения критических нагрузок потери устойчивости, так и на характер напряженно-деформированного состояния оболочек. Чтобы качественно оценить влияние таких несовершенств на те или иные интересующие расчетчика величины, вообще говоря, в первую очередь необходимо проанализировать, к каким же изменениям в метрических формах срединной поверхности может привести наличие у оболочки начальных несовершенств.

Пусть -срединная поверхность оболочки, не имеющей начальных несовершенств, заданная уравнением Если оболочка получает начальные несовершенства, то ее срединную поверхность можно отнести к общей параметризации с поверхностью без начальных несовершенств в соответствии с уравнением вида (5.64)

Входящая сюда функция как мы уже установили, представляет собой расстояние между точкой и ее проекцией на измеренное в направлении нормали и в данном случае характеризует форму начальных несовершенств оболочки.

В соответствии с разделом 5.6 при построении уравнений механики оболочек с начальными несовершенствами можно использовать три вида связанных между собой полуортогональных триэдра:

1) основной и взаимный триэдры на срединной поверхности оболочки с начальными несовершенствами;

2) основной и взаимный триэдры на срединной поверхности оболочки без начальных несовершенств;

3) основной и взаимный триэдры семейства эквидистантных поверхностей

Если уравнения построить в базисных векторах срединной поверхности то они будут иметь обычный вид и вся информация о форме начальных несовершенств в будет содержаться в коэффициентах метрических форм и символах Кристоффеля Гц. Если же уравнения построить в базисных векторах поверхности или поверхностей то они по виду будут отличаться от уравнений, построенных первым способом, и в них информация о форме начальных несовершенств будет входить как дополнительные члены в соответствующие кинематические соотношения и уравнения равновесия.

Если между метрическими формами и символами Кристоффеля поверхности оболочки без начальных несовершенств и аналогичными параметрами поверхности с оболочки с начальными несовершенствами выполняются с некоторой степенью точности приближенные равенства

то все три варианта уравнений, построенные указанными выше способами, очевидно, будут совпадать с той же степенью точности.

Покажем, что приближенные равенства (6.84) с точностью выполнены, если функция и ее производные удовлетворяют условиям

Для доказательства этого утверждения обратимся к формулам, связывающим между собой указанные параметры. Коэффициенты поверхности о с коэффициентами поверхности связаны зависимостями (5.76), которые с учетом (5.47) запишем в виде

откуда при выполнении условий (6.85) и (6.86) с точностью следуют первые приближенные равенства из (6.84).

Так как в соответствии с (5.50) при выполнении условий (6.85)

а также при выполнении условий (6.85), (6.86) выполняются приближенные равенства то зависимости

(5.111) примут вид

Отсюда следует, что при выполнении условий (6.87) с точностью следуют вторые приближенные равенства из (6.84). Обратимся к зависимостям (5.115):

При выполнении приближенных равенств очевидно, поэтому зависимости (6.88) в силу (6.86) и (6.87) сводятся к равенствам из (6.84).