ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА ФИКТИВНОЙ ДЕФОРМАЦИИ К ЗАДАЧЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ НЕКАНОНИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ТРЕХМЕРНОГО КОНТИНУУМА ДЛЯ ТЕЛ ОДНОРОДНОЙ ИЛИ СЛОИСТОЙ СТРУКТУРЫ

Решение пространственных задач теории упругости для тел неканонических форм связано с трудностями параметризации изучаемой области пространства и построением в ней подвижных триэдров, используемых в качестве локальных подвижных базисов для параметризации векторных и тензорных полей.

К такому классу трехмерных тел неканонических очертаний относятся, в частности, однородные тела с лицевыми поверхностями сложной формы, либо расслоенные по одной из координат (выбранной за толщину) конечным множеством не пересекающихся в области произвольно ориентированных поверхностей сложной формы (например, толстые слоистые оболочки со слоями переменной толщины).

Задачу параметризации пространств для таких тел можно решить методом фиктивной деформации в рамках идеи -преоб-разования» нормальных координат части пространства, составляющей область этого преобразования, когда связь между координатами точки и координатами ее изображения реализуется так, что первые две координаты остаются без изменений, а третья нормальная координата получает приращение на величину Я, являющуюся произвольной регулярной функцией Физически это эквивалентно отображению точки с координатами в точки на некоторой новой поверхности. При таком преобразовании координат в области изображения пространства появляется возможность введения новых локальных подвижных базисов, которые можно интерпретировать как своеобразное расширение методов параметризации Векуа [17].

Если для произвольной регулярной функции нормального фиктивного деформирования установить векторные уравнения взаимно однозначного отображения некоторой известной канонической области пространства на область изображения, то можно построить соответствующие этому отображению локальные подвижные базисы.

Пусть обозначает тело, а также неканоническую область трехмерного евклидова пространства, занимаемого деформируемым телом с боковыми линейчатыми поверхностями , образующие которых являются нормалями к некоторой регулярной поверхности Примем, что обладает следующим

свойством: из любой точки области на поверхность можно опустить нормаль, пересекающую лишь в одной точке. Вообще говоря, поверхность может и не принадлежать области или лишь частично с ней пересекаться.

Введем в двумерное множество прямых (конгруэнцию прямых), которое задается некоторой секущей поверхностью с известным в каждой точке единичным направляющим вектором прямой 1 (конфигурация Куммера [40]).

Полученная куммерова конфигурация используется для специальной координации той части пространства, которую конгруэнция охватывает при выбранной произвольной секущей поверхности и допущении об адекватности линейчатой поверхности конгруэнции боковой поверхности области

Исходя из секущей поверхности строится поверхность нормально связанная с конгруэнцией (база параметризации искомой области пространства), для которой в свою очередь методом общей фиктивной деформации возможно установить ее собственную параметризацию (см. главу 8).

Таким образом, при выборе (базы параметризации области Я) имеется довольно широкий произвол.

Выделим в окрестности двумя эквидистантными на величину поверхностями каноническую область пространства с боковыми поверхностями 20, принадлежащими линейчатой поверхности конгруэнции прямых.

Полагая, что на задана координатная система с помощью векторного уравнения

можно построить соответствующий ковариантный подвижный базис (см. раздел 1.6), которого достаточно для параметризации пространства Выбор канонической области (прообраза) трехмерного евклидова пространства в окрестности базы параметризации при соблюдении введенных допущений позволяет реализовать гомеоморфизм

ограниченного многообразия прообраза в ограниченное многообразие образа с помощью векторного уравнения

или эквивалентного ему уравнения

относительно вектор-функций базовой поверхности Здесь — прямоугольная область изменения параметров в трехмерном пространстве вещественных чисел, где

соответствующий принятому в теории оболочек понятию толщины; радиус-вектор и орт нормали к в точке

В такой постановке функцию устанавливающую однозначное соответствие между точками можно определить линейным разложением

где -неизвестные коэффициенты. Пусть кусочно гладкие функции гауссовых параметров устанавливающие величину превышения лицевых поверхностей области над поверхностями измеренного в направлении нормали Знак положительный, если точка соответственно выше точки (соответственно в направлении нормали

Из условий

определяются неизвестные коэффициенты

Таким образом, при построении функции координаты точки являются одновременно и координатами точки Отметим, что геометрический смысл отображения (2) заключается в фиктивном деформировании объема когда каждая точка получает фиктивное перемещение в направлении до совпадения с точкой

Дифференцируя (3), (4) по параметрам получим выражения для основного координатного базиса произвольной точки

записанные через базисы, введенные в области и поверхности

Ковариантные компоненты основного метрического тензора и пространственные символы Кристоффеля пространства в этом случае можно найти согласно формулам раздела 1.6 и [17].

Координатную систему в ковариантный подвижный базис которой составляют вектор-функции назовем - параметризацией области Недостатком -параметризации является неортогональность ориентации базисного вектора координатным векторам (нетрудно проверить, что приводящая к появлению дополнительных ненулевых функций, существенно

усложняющих основные соотношения механики деформирования тела в отличие от полуортогональной системы координат. Для получения полуортогональной системы координат построим новый подвижный базис в точке заменив в данной точке ортом нормали к поверхности о, образованной движением радиуса-вектора при изменении параметров и фиксированном значении Очевидно, базисные векторы будут касательными к этой поверхности, определится по формуле

Координатную систему в ковариантный подвижный базис которой составляют вектор-функции назовем В-па-раметризацией области

Если через точку провести эквидистантную поверхность а, положив в или, что то же самое, где -координаты точки то можно ввести новые подвижные триэдры в точке -координатные векторы системы координат для области эквидистантной области ; -система координат, нормально связанная с поверхностью о. Координатные системы в с базисными векторами назовем соответственно параметризацией области Перенося параллельно из точки в точку триэдр получим -параметризацию области с базисными векторами

Описанные параметризации для изучения векторных и тензорных полей на позволяют составить разнообразные формы представления основных соотношений теории упругости для тел неканонических форм указанного выше класса.

Для тел слоистой структуры неканонических очертаний и слоями переменной толщины целесообразно применять параметризации трехмерных пространств слоев построенные исходя из следующих векторных уравнений:

Здесь радиус-вектор произвольной точки слоя -число слоев; -расстояние от до поверхности расслоения -го слоев, измеренное по направлению нормали толщина слоя, измеренная по направлению нормали

Дифференцированием уравнений (9) строятся основные координатные векторы подвижных базисов слоев, а далее обычным путем вычисляются все их геометрические и дифференциальные параметры.