4.7. Построение криволинейных сеток

Задача построения криволинейных сеток усложняется по сравнению с задачей построения простых сеток. Это связано с тем, что при построении криволинейных сеток необходимо обеспечить отображение Такое отображение обеспечивают метод граничных элементов и приближенные аналитические методы. Метод граничных элементов не позволяет записать выражения для криволинейных границ ячеек сетки в виде простых аналитических выражений. Для определения каждой точки на границе ячеек необходимо выполнять вычисления по формулам (4.21). Граничные элементы в этом случае необходимо применять кубические, обеспечивающие непрерывность первых производных на границе области [6, 9]. Отметим, что приближенные

аналитические методы пригодны для ограниченного класса задач, поэтому они не могут быть приняты за основу при построении криволинейных сеток для областей сложной формы.

Метод конечных разностей и метод конечных элементов позволяют построить криволинейные сетки, если по найденным узлам сетки выполнить параметризацию пространства области V на основе некоторой интерполирующей функции. Для этой цели применимы изложенные в главах 2, 3 методы построения сплайнов на сетках как с регулярным расположением, так и с произвольным расположением узлов где — число узлов сетки

Возможен другой способ построения криволинейных сеток, основанный на применении более сложного векторного уравнения, обеспечивающего непрерывность первых производных от отображающего радиуса-вектора в точках контура и на координатных линиях. Для решения задачи построения сеток при такой постановке может быть принято следующее векторное уравнение четвертого порядка:

где -задаваемая весовая функция; -управляющая вектор-функция.

Краевые условия для уравнения (2.26) должны быть приняты в виде

где -граница области

Естественные краевые условия для (4.26) формулируются в зависимости от желаемого изменения производных от радиуса-вектора вблизи границы Далее на основе (4.26) составляется энергетический функционал или интегральное тождество, на основании которых строится приближенное численное решение сеточного уравнения.

Представляет интерес случай при построении криволинейных сеток на основе МКЭ, когда т. е. в качестве параметров приняты длины дуг криволинейных координат. Задача построения криволинейных сеток в этом случае становится нелинейной, так как длины дуг становятся неизвестными величинами и нелинейно выражаются через значения в узлах искомой сетки Длины дуг и площади криволинейных ячеек сетки при этом удобно вычислять на основе интерполяционных сплайнов. Система нелинейных уравнений может быть решена методом последовательных приближений в следующей форме: сначала выбирается простая сетка и решается задача нахождения сетки До, по которой вычисляются длины дуг и площади криволинейных ячеек сетки с использованием интерполяции. Затем сетка принимается за исходную, т. е. и решается задача отыскания сетки по которой вычисляются новые длины дуг и площади криволинейных ячеек сетки с использованием

интерполяции. Далее сетка принимается загтгеходную и процесс вычислений повторяется до тех пор, пока не выполнится приближенное равенство пределах необходимой точности.