2.2. Интерполирование линий алгебраическими и тригонометрическими многочленами

Рассмотрим некоторый класс вектор-функций заданных на отрезке (см. рис. 2.1). Для интерполирования выберем семейство вектор-функций более простых чем и достаточно легко вычисляемых. Семейство выберем в виде линейной ком; бинации простейших функций и образуем вектор-функцию

где постоянные векторы; последовательность простейших функций из семейства

Пусть в точках кривой а последовательно заданы значения радиуса-вектора Каждому согласно сетке соответствует значение параметра Найдем значения произвольных постоянных векторов в выражении (2.2) из условий интерполяции

Эти условия дают систему векторных линейных алгебраических уравнений

Система (2.4) эквивалентна трем системам скалярных алгебраических уравнений относительно проекций радиуса-вектора на базисные векторы соответственно. При этом у всех трех систем матрицы коэффициентов одинаковые и имеют вид

Естественно при интерполяции кривой а решать одну систему линейных алгебраических уравнений с тремя правыми частями, каждая из которых соответствует проекции радиуса-вектора на базисные векторы исходной системы координат.

Система (2.4) имеет единственное решение, если определитель матрицы (2.5) отличен от нуля:

Если система функций образует на систему Чебышева и семейство (2.2) является полным в классе Функций то определитель (2.6) отличен от нуля, если на

сетке все выбранные значения параметра различны между собой. Это условие при аппроксимации произвольной непрерывной кривой а всегда может быть обеспечено.

Рассмотрим интерполяцию кривой а многочленом Лагранжа . В этом случае [5, 7, 47]

и уравнение для кривой а имеет вид

Периодические функции наиболее эффективно интерполировать не алгебраическими, а тригонометрическими многочленами, которые имеют следующий вид [7, 47]:

где произвольные пока неопределенные векторы.

Предположим, что для замкнутой кривой а известны значения узлах, Выберем на отрезке сетку для значений параметра соответствующих значениям

Неопределенные векторы в (2.8) должны быть определены из условий интерполирования

дающих систему векторных линейных алгебраических уравнений относительно величин а

Заменим переменную положив где Тогда

а выражения (2.8) запишутся в виде

Следовательно, интерполирование тригонометрическим многочленом равносильно интерполированию алгебраическим многочленом по узлам Так как в силу выбора сетки все различны между собой, то интерполирование, как показано для алгебраических многочленов, всегда возможно и единственно и система (2.9) имеет единственное решение.

Особенности приближения функций алгебраическими и тригонометрическими многочленами изложены в известных руководствах по применению численных методов [5, 7, 47, 108] и полностью применимы для случая вектор-функций. В них же приведены формулы для оценки величины остаточных членов интерполяции.