2.7. О приближенных аналитических методах аппроксимации линий

Для решения некоторых геометрических задач могут быть эффективными приближенные аналитические методы, использующие для аппроксимации кривых конечные разложения в виде линейной комбинации простых функций (2.2)

где -произвольные постоянные векторы; -последовательность простейших функций из выбранного семейства.

Приближенные аналитические методы могут быть построены на основе интегральных тождеств или функционалов. Так, интегральные тождества (2.41), (2.53) позволяют построить приближенные методы вычисления первых и вторых производных от аппроксимируемой линии а, если для вектор-функций использовать разложения (2.73). В результате получим приближенные значения обобщенных производных, так как интегральные тождества (2.41), (2.53) определяют первую и вторую обобщенные производные соответственно [54]. Системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения (2.73) в этом случае представляют собой уравнения метода Бубнова — Галеркина для (2.41), (2.53) соответственно

где коэффициенты разложения для первой производной - коэффициенты разложения для второй производной в (2.53).

При табличном задании аппроксимируемой вектор-функции интегралы в правых частях систем уравнений (2.74), (2.75) могут быть вычислены с помощью квадратурных формул [5, 7, 47, 96]. Решая эти системы, находим приближенные значения первых и вторых производных для кривой .

Функционал (2.63) позволяет построить функциональный сплайн, представляющий собой многочлен третьей степени (2.22) на каждом участке сплайна. Построение такого сплайна не отличается от построения экспоненциального сплайна (2.65). В отличие от

классического кубического сплайна он будет содержать значения весовых функций

Для построения приближенных аналитических методов на основе функционала (2.63) выполним его модификацию, введя дополнительный член, характерный для метода наименьших квадратов:

где — сглаживающий множитель; -весовая функция, назначаемая в зависимости от значимости измерений в точках кривой а.

При дискретных измерениях функционал (2.63) может быть модифицирован следующим образом:

где весовые коэффициенты, назначаемые в зависимости от значимости измерений в точках кривой

Некоторые рекомендации для выбора величин имеются в работах . В общем случае эти коэффициенты подбираются в результате численных экспериментов. Множитель по своему смыслу является регуляризующим множителем [104, 105].

Подставляя в функционалы (2.76), (2.77) разложения вида (2.73) для искомой функции и минимизируя получившиеся квадратичные формы, получаем приближенное аналитическое выражение для аппроксимируемой кривой а.

Отметим, что функционалы (2.76), (2.77) позволяют построить сглаживающие экспоненциальные или кубические сплайны, когда аппроксимируемая вектор-функция содержит погрешности, т. е. исходная информация является некорректной.

Если в выражениях (2.76), (2.77) положить то на основе их получаются методы наименьших квадратов для аппроксимации кривых.

Подробности минимизации построенных функционалов здесь не рассматриваются, так как алгоритмы решения задач аппроксимации на их основе полностью совпадают с алгоритмом известного метода Ритца, широко применяемого для приближенного аналитического решения самых разнообразных технических задач.