8.4. Параметризация срединной поверхности оболочки с неканонической проекцией на поверхности отсчета

Обобщая введенное в разделе 8.1 понятие оболочки сложной формы в плане, можно ввести аналогичное понятие оболочки сложной формы с неканонической проекцией на поверхности отсчета.

Пусть срединная поверхность оболочки а является поверхностью сложной формы, а контур С области Я 6 от состоит из четырех гладких кусков Для параметризации а введем некоторую поверхность отсчета таким образом, чтобы были выполнены

Рис. 8.4

условия однозначности и непрерывности функции и ее производных (по крайней мере до третьих, как это следует из раздела 5.5). Предположим далее, что поверхность отнесена к некоторой параметризации

и область на представляющая собой проекцию области в направлении нормали к неканоническая в параметризации (8.42) и ее контур состоит из четырех гладких кусков

Оболочки описанного класса назовем оболочками сложной формы с неканонической проекцией на поверхность отсчета. Параметризацию области для таких оболочек целесообразно осуществить в два этапа (рис. 8.4).

Так же как и в разделе 8.1, на поверхности введем в рассмотрение каноническую область контур которой ограничен отрезками координатных линий Предполагая, что в параметризации (8.42) координатные линии являются ортогональными, отобразим область на область с помощью векторного равенства (8.17)

Тем самым при построенных функциях в области определяются: два семейства координатных линий

являющихся образом координатных линий компоненты первого и второго метрических тензоров

а также основные базисные векторы направленные по касательным к координатным линиям и вектор единичной нормали в точке

Для определения входящих в величин служат установленные в разделе 8.2 выражения (8.20), (8.22), (8.24) и (8.28), а для производных векторов (8.46) и по справедливы формулы вида

в которых символы Кристоффеля через компоненты метрического тензора определяются по формулам (5.141).

Построим теперь на срединной поверхности оболочки параметризацию области удовлетворяющую сформулированным во введении условиям (второй этап решения задачи параметризации).

Так как область по предположению является нормальной проекцией области на то координатные линии на границе будут совпадать с контурными, если между соответствующими точками установить взаимно однозначное соответствие

в котором радиус-вектор точки определен равенством (8.43), а вектор единичной нормали в этой точке — выражением из (8.46). Когда функция построена, то после определения величин в точках области величины в соответствующих точках на срединной поверхности определяются по формулам, приведенным в разделе 5.5.

Если подставить в (8.47) выражения (8.43) и (8.46), то получим векторное равенство

позволяющее установить зависимости между координатами точек на поверхности отсчета и координатами их образов на срединной поверхности оболочки. Входящие в это равенство величины

Рис. 8.5

представляют собой компоненты вектора фиктивных перемещений точек области с помощью которых строится отображение области на область Введение вместо необходимых трех функций четырех функций связанное с разделением отображения

на два последовательных отображения (8.43), (8.47), приводит к некоторому упрощению задачи параметризации рассматриваемой области делая ее геометрически более наглядной.

Проиллюстрируем изложенный метод на примере, рассмотренном в следующем разделе.