Глава 8. ОБЩИЙ МЕТОД ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ ОТСЧЕТА ДЛЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

8.1. Параметризация срединной поверхности оболочки сложной формы в плане

Пусть срединная поверхность оболочки о имеет сложную форму, контур С области состоит из четырех гладких кусков а нормальной проекцией области на некоторую плоскость отсчета принятую в качестве базы параметризации, является область . В качестве плоскости выберем такую, чтобы область имела максимальную площадь и функция , представляющая собой расстояние между в направлении нормали была однозначной и удовлетворяла условиям, сформулированным в главе 5. Предположим далее, что область на плоскости отнесенной к некоторой параметризации

неканоническая, т. е. ее контурные линии не совпадают с отрезками координатных линий

Оболочки такого класса в соответствии с принятой терминологией назовем оболочками сложной формы в плане. Решение задачи параметризации их срединной поверхности можно осуществить путем суперпозиции двух последовательных отображений.

На первом этапе на плоскости отсчета в соответствии с методикой главы 7 выберем соответствующую параметризации (8.1) каноническую область ограниченную координатными линиями (рис. 8.1). Отобразим ее на область с помощью векторного равенства вида (7.17)

где -радиус-вектор некоторой точки которая отображается в точку с радиусом-вектором — взаимные базисные векторы в точке определяемые уравнением (8.1); -компоненты вектора фиктивных перемещений точки которые в зависимости от формы области могут быть построены одним из методов, изложенных в главе 7.

Рис. 8.1

При заданном уравнении (8.1) плоскости и построенных функциях в каждой точке области определяются основные базисные векторы направленные по касательным к координатным линиям, соответствующим отображению (8.2) и обозначенным на рис. 8.1 линиями

ковариантные компоненты первого метрического тензора

и символы Кристоффеля второго рода

причем для определения входящих сюда величин и служат формулы раздела 7.5.

На втором этапе решения задачи параметризованная уравнением (8.2) область отображается на область срединной поверхности оболочки а с помощью векторного равенства

которое с учетом (8.2) принимает вид

Таким образом, за гауссовы координаты некоторой точки проекцией которой на плоскости отсчета является точка принимаются координаты точки в параметризации плоскости уравнением (8.1).

Рис. 8.2

Так как для базисных векторов (8.3) и в точках области имеют место формулы дифференцирования

в которых символы Кристоффеля определены выражениями вида (5.16), то формулы остаются без изменений. Последние могут быть упрощены, если функция , входящая в (8.6), удовлетворяет условиям (6.32), (6.33).

И, наконец, если в (8.1) параметры на плоскости определяют два семейства ортогональных координатных линий, то вместо равенства (8.2) при решении задачи параметризации необходимо пользоваться равенством

где -единичные векторы координатных линий в точке При этом в точках области вычисление необходимых геометрических величин производится по формулам, приведенным в разделе 7.2.

Изложенный метод проиллюстрируем на примере параметризации срединной поверхности сферического купола радиуса имеющего эксцентрично расположенное отверстие, у которого проекция области на плоскость показана на рис. 8.2.

Обозначим через расстояние между плоскостью граничного среза купола и плоскостью Примем последнюю в качестве базы параметризации. Так как область в рассматриваемом случае является двусвязной, то для ее параметризации воспользуемся решением, приведенным в разделе 7.4. В данном случае целесообразно полюс полярной системы координат совместить с точкой О (см. рис. 8.2). При этом если положить а функция входящая в (7.48), при фиксированном будет равна отрезку (точка -пересечение со штриховой окружностью).

Получим выражение для этой функции. Рассматривая треугольники и запишем (с—эксцентриситет отверстия)

Из равенства (8.8) найдем выражение

Внося его в (8.7), получим

Из (8.9), принимая во внимание равенство (см. рис. 8.2), найдем

При этом функция определяется формулой (7.48)

в которой в силу

Далее с использованием (8.11) по формулам раздела 7.4 в точках области могут быть найдены коэффициенты первой квадратичной формы и символы Кристоффеля.

Построим теперь функцию входящую в уравнение (8.6) и определяющую отображение области на область Из уравнения сферической поверхности в осях для точек верхней полусферы запишем формулу

Перенося начало координат в точку О и имея в виду, что получим

Конец радиуса-вектора имеет координаты поэтому

где функция определяется формулой (8.10). Внося выражения (8.13) в (8.12), для функции получим окончательно

Далее по формулам (6.3), (6.13), (6.9) с использованием формул раздела 6.2 и выражения (8.14) могут быть найдены компоненты первого и второго метрических тензоров, а также символы Кристоффеля второго рода для срединной поверхности рассматриваемой оболочки.

Можно показать, что приведенное решение справедливо лишь для случая, когда ибо при угол между координатными векторами, становится равным во всех точках, соответствующих что приводит к вырождению в них отображения (8.6).