2.9. Некоторые численные результаты сравнения различных методов построения сплайнов

Теоретическая оценка точности рассмотренных методов построения кубических сплайнов, не требующих задания краевых условий, является сложной задачей, не решенной в настоящее время полностью. Рассмотрим сравнение различных методов построения сплайнов на примере интерполирования параметрического уравнения окружности

где -радиус окружности.

Выберем равномерную сетку узлов где Расчетные значения коэффициентов приведены на рис. в зависимости от Крайний узел сетки выбран по той причине, что вблизи крайних узлов интервала интерполирования наблюдается наибольшая ошибка, если краевые условия не соответствуют характеру изменения кривой а вблизи ее краев. Кривые 1 на рис. получены при интерполировании окружности (2.80) сплайном согласно уравнению (2.36). Результаты, полученные согласно уравнениям (2.61), представлены на рис. кривыми 2. Следует отметить, что кривые 2 полностью совпадают с кривыми, полученными на основе уравнений (2.27), (2.29) и условий минимума функционала [99]:

Рис. 2.6

Следующие результаты получены при рассмотрении функционала реакций в виде

где —коэффициент, назначаемый расчетчиком из условия -реакции сплайна, как и для выражения (2.30).

Кривые 3 (рис. 2.2-2.5) получены согласно уравнениям (2.27), (2.39) и условиям минимума функционала реакций (2.81) при , кривые 4 получены также по этим уравнениям при

Нетрудно видеть, что все методы обеспечивают сходимость численных значений производных к их аналитическим точным значениям:

где —малая заданная величина, характеризующая точность приближения кривой а кубическими сплайнами; -число узлов, при котором выполняются записанные условия;

Анализ результатов показывает, что трудно выделить предпочтительный метод построения сплайна, не требующего задания краевых условий.

При рассмотрении функционала (2.81) для определенности естественно положить Численные эксперименты с различными аналитическими кривыми показали, что такой подход обеспечивает достаточную стабильность определения краевых условий для интерполирующего сплайна. Основное внимание уделено методу, основанному на минимизации функционала реакций, так как он допускает обобщение на двумерные сплайны, которым посвящен следующий раздел работы.

Рассмотрим применение экспоненциальных сплайнов для интерполирования уравнения окружности

на равномерной сетке

Расчеты выполнены при для всех кривых, изображенных на рис. 2.6, при —для кривой при -для кривой 2; при -для кривой 3; при -для кривой 4; при для кривой для кривых 2—5 (на рис. 2.6 изображена четвертая часть сплайн-кривых). Применялась параметризация по длине дуги (2.79). При этом после третьей итерации совпадали первые четыре знака для всех искомых величин. Нетрудно видеть, что параметрические экспоненциальные сплайны дают достаточно гладкие кривые. Варьирование весовыми функциями дает дополнительные возможности для управления формой аппроксимирующих кривых.