Глава 3. АППРОКСИМАЦИЯ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
3.1. О численной параметризации регулярной поверхности
Будем пользоваться векторно-параметричеекой формой уравнения поверхности
где непрерывные раз дифференцируемые функции гауссовых параметров (криволинейных координат) базисные векторы некоторой выбранной системы координат в пространстве; -область изменения гауссовых параметров (рис. 3.1).
Уравнение (3.1) задает поверхность [40, 55, 74, 106], если
Регулярная поверхность в окрестности каждой своей точки допускает множество параметризаций. Однако произвольные поверхности в общем случае не удается описать известными классами аналитических функций. Ограничения при этом связаны еще и с тем, что большая часть известных аналитических функций не имеет явных аналитических обратных функций. При численном решении задачи параметризации поверхностей выражение (3.1) может быть записано для конечного числа выбранных точек (узлов). В промежутках между узлами при построении численных методов параметризации естественно применять простейшие аналитические функции, удовлетворяющие условию (3.2). При выборе достаточного количества узлов параметризации численные методы позволяют описать с необходимой точностью сколь угодно сложные поверхности. Выполнение условия (3.2) при применении численных методов практически не вызывает затруднений и не накладывает ограничений на алгоритмы.
Выражение (3.1) с применением соглашения тензорной алгебры о суммировании по повторяющемуся индексу запишется в виде
Рис. 3.1.
При использовании понятия отображения поверхность является двумерным многообразием в трехмерном пространстве [73, 109].