Глава 7. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОБЛАСТЕЙ СЛОЖНЫХ ОЧЕРТАНИЙ НА ПЛОСКОСТИ

7.1. Постановка задачи. Отображения канонических областей, заданных в употребительных координатных системах

Наиболее простой и употребительной на плоскости является прямоугольная декартова система координат в которой радиус-вектор произвольной точки определяется равенством

где -орты декартовых осей координат. В этой системе канонической является прямоугольная область с контуром С, состоящим из кусков координатных линий

Если от переменных опредепяющих в соответствии с (7.1) координацию множества точек на плоскости, перейти к двум другим переменным с помощью функций

удовлетворяющих условиям их однозначности и непрерывности

то говорят, что указанная прямоугольная каноническая область взаимно однозначно отображается в каноническую в переменных область контур которой ограничен кусками новых координатных линий

Так, например, с помощью системы функций связанных с равенствами

осуществляется переход от декартовых координат к полярным координатам в которых каноническая область имеет форму кольцевого сектора и ограничена координатными линиями (рис. 7.1).

При формулировке и решении задач механики деформирования пластин, имеющих форму области отличных от прямоугольника и кольцевого сектора (кольца или круга), кроме

Рис. 7.1

Рис. 7.2

прямоугольных декартовых или полярных координат, на плоскости используется также и ряд других координатных систем. Рассмотрим наиболее употребительные из них.