2.5. Применение интегральных тождеств для вычисления коэффициентов кубических сплайнов

Рассмотрим первое векторное выражение, устанавливающее связь между коэффициентами сплайна и интерполируемой вектор-функцией

Умножим скалярно обе части выражения (2.39) на произвольную вектор-функцию Интегрируя в пределах интервала получим

Интегрируя по частям правую часть выражения (2.40), приходим к следующему интегральному тождеству:

Здесь использованы следующие краевые условия для выражения (2.39):

Пусть для кривой а заданы последовательно значения радиуса-вектора где — число заданных значений радиуса-вектора. Поставим в соответствие каждому

значению выбранные, значения параметра согласно сетке Рассмотрим следующие аппроксимирующие функции, для. построения численного алгоритма нахождения коэффициента кубического сплайна:

где -узловые значения аппроксимирующей вектор-функции,

Применяя для аппроксимации вектор-функций, простейшие функции вида (2.43) и учитывая произвольность значений получим следующую систему векторных линейных алгебраических уравнений:

где -матрицы, формируемые из матриц согласно алгоритму МКЭ,

— правая часть системы (2.44), связанная с краевыми условиями (2.42);

— столбцы порядка составленные [из векторных величин;

— столбец порядка составленный из векторных величин,

Будем в дальнейшем столбцы, составленные из векторных величин, называть вектор-столбцами.

Вид расчетных выражений зависит от способа задания или вычисления вектор-столбца . В некоторых случаях компоненты вектор-столбца могут быть получены с помощью координаторов, имеющихся на автоматизированных рабочих местах конструктора или расчетчика. При большом количестве измерений возможно применение статистических методов для вычисления значений с использованием математического обеспечения ЭВМ автоматизированного рабочего места конструктора. При ограниченном количестве информации для вычисления целесообразно применять квадратурные формулы [7, 14, 47, 96].

Рассмотрим применение квадратурных формул, полученных на основе интерполяции интегрируемой функции кусочным скользящим алгебраическим многочленом третьей степени, которые

позволяют вычислить по значениям в четырех соседних узлах сетки А. Тогда для внутренних участков сетки получим

где

Для Крайних участков сетки также применим интерполяционные многочлены третьей степени с учетом краевых условий общего вида

где -заданные величины согласно реальным краевым условиям решаемой задачи аппроксимации. Тогда для крайних участков имеем

где

Рассмотрим еще один способ вычисления величин предполагая, что в узлах сетки А, кроме известны значения Применяя на сетке для интерполяции величин алгебраический многочлен Эрмита, получим согласно [1, 84]

Тогда выражения для полученные на основе многочлена (2.49), запишутся в виде

Здесь следует отметить, что применение простейших квадратурных формул трапеций для вычисления величин на сетке А по значениям приводит к низкой точности определения коэффициентов по сравнению с точностью, получаемой для коэффициентов сплайна

Рассмотрим теперь векторное выражение, устанавливающее связь между коэффициентами сплайна и интерполируемой вектор-функцией:

Умножая скалярно обе части выражения (2.51) на произвольную вектор-функцию и интегрируя в пределах интервала получим

Применение формулы интегрирования по частям к правой части выражения (2.52) приводит к следующему интегральному тождеству:

Здесь использованы следующие условия для выражения (2.51):

являющиеся естественными краевыми условиями.

Применяя для аппроксимации вектор-функций простейшие функции вида (2.43) и учитывая произвольность значений получим следующую систему векторных линейных алгебраических уравнений:

где -матрицы, формируемые из матриц - согласно алгоритму МКЭ,

— правая часть системы вследствие естественных краевых условий (2.54) для выражения (2.51);

— числовая матрица порядка

— вектор-столбцы порядка

Следует отметить, что система (2.55) совпадает с системой уравнений для нахождения коэффициентов кубического сплайна, полученного сопряжением многочленов (2.49) по первым производным согласно выражениям

и краевым условиям

где - заданные значения согласно краевым условиям для сплайна.

Системы уравнений (2.44) и (2.55) позволяют рассмотреть два эффективных алгоритма, построения кубического сплайна, не требующих задания краевых условий.

Первый алгоритм основан на применении для вычисления формул (2.45), (2.47), (2.48). В формулах (2.47), (2.48) при этом следует положить

В результате система (2.44) преобразуется к виду

где -числовая матрица порядка вычисляемая согласно алгоритму МКЭ по матрицам и величинам из (2.47), (2.48);

— правая часть системы (2.58), появляющаяся вследствие принятых краевых условий (2.46), (2.57) для аппроксимирующего сплайна в крайних узлах сетки - числовая матрица порядка -вектор-столбец порядка

Далее, объединяя системы (2.58), (2.55), получим замкнутую систему векторных линейных алгебраических уравнений относительно вектор-столбцов коэффициентов сплайна

Решая эту систему, одновременно находим коэффициенты сплайна

Второй алгоритм основан на применении для вычисления формул (2.50). Система уравнений (2.44) в этом случае принимает следующий вид:

где в дополнение к обозначениям в (2.44), (2.58) введены следующие:

-числовые матрицы порядка формируемые из матриц согласно алгоритму МКЭ,

Далее, как и в предыдущем алгоритме, объединяя системы уравнений (2.60), (2.55), получим следующую замкнутую систему векторных линейных алгебраических уравнений относительно вектор-столбцов коэффициентов сплайна :

Решая полученную систему, одновременно находим коэффициенты сплайна

По найденным значениям коэффициентов сплайна значения сплайна в промежутках между узлами сетки могут быть вычислены как согласно выражениям (2.23), так и согласно выражениям (2.49).

Следует отметить, что в традиционном варианте построения сплайна коэффициенты связаны между собой. Эта связь устанавливается согласно выражениям (2.22), (2.49) и условиям сопряжения участков сплайна (2.26), (2.56). Поэтому в промежутках между узлами сплайна возможно применение только алгебраических многочленов третьей степени.

При применении предлагаемых алгоритмов вычисления коэффициентов в промежутках между

узлами сетки для восстановления аппроксимирующего сплайна можно применить алгебраический многочлен Эрмита пятой степени с двумя кратными узлами, в которых известны так как коэффициенты сплайна независимы.