4.4. Обобщенное решение сеточного уравнения

Умножим обе части уравнения (4.1) на произвольную вектор-функцию Интегрируя в пределах и применяя формулу Грина, получим

Выражение (4.17) представляет собой интегральное тождество метода Галеркина, соответствующее обобщенному решению задачи (4.1), (4.2). Следует отметить, что выражение (4.17) справедливо и для случая, когда оператор не является симметричным. С этой точки зрения методы, основанные на интегральном тождестве (4.17), являются более общими, чем методы, основанные на минимизации функционала (4.10).

Для получения численного решения задачи построения сетйк аппроксимируем вектор-функции в пределах ячеек расчетной сетки А полиномами вида (4.12). Учитывая, что вектор-функция произвольная, получим систему линейных алгебраических уравнений вида (4.16). Отметим, что в случае, когда оператор в (4.1) положителен и симметричен, функционал (4.10) и интегральное тождество (4.17) дают одинаковые решения [52].