5.4. Поверхность, эквидистантная канонической поверхности, и ее параметризация

Пусть задана некоторая регулярная поверхность канонической формы, определенная уравнением (5.1). Параллельной ей или эквидистантной называют такую поверхность , на которой некоторая точка ставится в соответствие с точкой согласно векторному равенству

причем в этом равенстве величина предполагается постоянной. Здесь -радиус-вектор точки Сравнивая равенство (5.43) с равенством

записанным в соответствии с (5.2), (5.3), заключаем, что поверхность, эквидистантная поверхности получается фиктивным деформированием последней путем перемещения всех ее точек на постоянное расстояние в направлении нормали Так как при параметризации эквидистантной поверхности уравнением то в соответствии с . Поэтому базисные векторы на эквидистантной поверхности имеют вид

где

— так называемый смешанный тензор переноса 2-го ранга [17], устанавливающий связь между ковариантными базисами поверхности поверхности а. Компоненты первого метрического тензора поверхности а равны

Здесь -компоненты третьего метрического тензора поверхности Последние через среднюю и гауссову кривизны выражаются по формулам

С учетом этих формул выражение (5.47) представится в виде

Так как на эквидистантной поверхности вектор единичной нормали совпадает с вектором то компоненты ее второго метрического тензора равны

откуда с учетом (5.46) и (5.48) находим

Смешанные компоненты второго метрического тензора поверхности вычисляются аналогично

где

— смешанный тензор переноса 2-го ранга, обратный тензору причем

Вычислим коэффициент искажения площади отображения (5.43). Для этого установим зависимость между дискриминантами . Подставляя выражения (5.45) в векторное произведение

находим

где принято а через обозначены символы Следовательно, при отображении поверхности на эквидистантную ей поверхность а коэффициент искажения площади согласно формулам (1.43) и (5.54) равен

Установим зависимости для контравариантных компонент метрического тензора поверхности Через компоненты метрического и дискриминантного тензоров они выражаются по формулам

где причем между контравариантными компонентами дискриминантных тензоров поверхностей и о имеют место зависимости Подставляя это равенство в предыдущую формулу, приходим к соотношениям

Внося сюда из (5.49) и учитывая, что

окончательно получим

Найдем также зависимости между гауссовыми кривизнами поверхностей . С этой целью, используя (5.51),

составим выражение

Слагаемые в его правой части обращаются в нуль при значении индексов Исключая указанные значения индексов и принимая во внимание, что получим интересующую нас зависимость

Здесь -введенный символ знака; значение индекса с чертой наверху равно круговой перестановке значения индекса без черты, например, при индекс и наоборот.

Зависимость (5.57) между гауссовыми кривизнами поверхностей представима также в виде

если принять во внимание формулы (5.54) и (5.55).

Коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхностей удовлетворяют соотношением Гаусса и Кодацци

Здесь и символы Кристоффеля первого и второго рода, а

— ковариантные компоненты риманова тензора кривизны поверхностей соответственно.