3.6. Применение метода конечных элементов для задания и аппроксимации регулярной поверхности

Наиболее общие методы решения задачи параметризации могут быть построены на основе обобщенной теории функциональных сплайнов [10, 11, 52, 103] с применением МКЭ. В этом случае методика решения задачи параметризации наиболее полно совмещается с методикой решения задач механики оболочек по МКЭ. Согласно теории функциональных сплайнов необходимо выбрать дифференциальный оператор осуществляющий отображение (см. рис. 3.1). Порядок производных в операторе выбирается в зависимости от порядка старшей производной от радиуса-вектора поверхности которая должна существовать. Порядок производных в операторе не должен быть высоким,

так как чем выше порядок производных в тем больше краевых условий необходимо формулировать при решении задачи параметризации. Так как значения производных на контуре области часто не могут быть точно определены, то приходится формулировать некоторые дополнительные предположения или функциональные условия для их вычисления. Рассмотренные в главе 2 одномерные кубические и экспоненциальные сплайны следуют из дифференциальных уравнений четвертого порядка и имеют по одному краевому условию в каждом крайнем узле. При рассмотрении точных решений аппроксимирующих сплайновых дифференциальных уравнений обеспечивается непрерывность до вторых производных и существование третьих производных. Алгоритмы, реализующие сплайн-аппроксимации при этом, имеют вполне допустимую сложность. В свете изложенного для построения двумерных сплайнов также рассмотрим аппроксимирующее сплайновое дифференциальное уравнение четвертого порядка, которое обобщает одномерное уравнение (2.62):

где -сеть параметров на поверхности параметров радиус-вектор произвольной точки сплайна, аппроксимирующего поверхность -некоторая общая поверхность [74, 106]; -полная плоскость (или в общем случае простая аналитически заданная в явном виде простая полная поверхность) [74]; —симметричный тензор второй валентности весовых коэффициентов, задаваемых при расчете; -контравариантные компоненты первого метрического тензора поверхности параметров -дискриминант первой основной квадратичной формы поверхности параметров -линейный симметричный дифференциальный оператор, соответствующий специально модифицированному уравнению продольно-поперечного изгиба пластины.

От уравнения (3.25) перейдем к энергетическому функционалу

где -внешняя нормаль к контурной линии области изменения параметров —число узлов сетки А, в которых заданы значения поверхности

При построении функционала (3.26) рассматривались следующие краевые условия, при которых оператор симметричен и положителен:

где -некоторые произвольные постоянные, которые в дальнейшем исключаются из расчетных уравнений.

Краевые условия (3.27), (3.28) являются естественными краевыми условиями для уравнения (3.25) при вариационной формулировке задачи построения или аппроксимации поверхности Последний член в функционале (3.26) связан с рассмотрением бесконечно малых областей в окрестностях узлов сплайна Ту и пределов, когда эти об пасти стягиваются в рассматриваемые узлы (Ту). В результате такого рассмотрения формулируются краевые условия (3.28), которые позволяют при решении задачи построения сплайна вычислить также и реакции сплайна.

На основе функционала (3.26) возможны различные приближенные аналитические и численные методы аппроксимации и построения поверхностей.

Для построения сглаживающих сплайнов рассмотрим следующие функционалы:

где -весовая функция, назначаемая расчетчиком в зависимости от значимости измерений; -весовые множители для случая дискретно заданной поверхности -заданная непараметризованная поверхность, подлежащая аппроксимации; -дискретно заданные значения радиуса-вектора поверхности число узлов, в которых заданы дискретные значения аппроксимируемой поверхности

При построении сглаживающих сплайнов краевые условия (3.28) не рассматриваются.

Примем тензоры весовых коэффициентов, входящих в функционалы (3.26), (3.29), (3.30), в виде кусочно-постоянных функций в пределах ячеек расчетной сетки где -количество ячеек расчетной сетки, количество узлов расчетной сетки.

Аппроксимируем далее сплайн-поверхность в пределах каждой ячейки сетки А полиномиальной вектор-функцией согласно МКЭ:

где -узловые значения радиуса-вектора сплайн-поверхности;

—узловые значения производных от радиуса-вектора сплайн-поверхности;

— полиномиальные базисные функции для конечного элемента поверхности; Мк—множество номеров узлов подобласти

Базисные функции, входящие в выражение (3.31), конструируются так же, как для жестких пластин при решении задач статики или устойчивости пластинчатых систем.

Для прямоугольной подобласти в качестве вектор-функции (3.31) может быть принята (3.18). В случае треугольной произвольно ориентированной подобласти в качестве аппроксимирующей вектор-функции можно принять следующий полином:

где неизвестные вектор-коэффициенты, которые необходимо выразить через узловые значения радиуса-вектора поверхности и его производных;

При необходимости аналогично строятся полиномиальные аппроксимирующие вектор-функции более высоких порядков, согласующиеся с треугольником Паскаля:

где вектор-коэффициентов полного полинома степени

Представим аппроксимирующие [функции (3.31) [или (3.32) в матричном виде

где

— матрица-строка, составленная из базисных функций для поверхности

— вектор-столбец узловых значений сплайн-поверхности и ее производных для поверхности

Подставляя аппроксимирующие функции (3.33) в функционал (3.29) и минимизируя получившуюся при этом квадратичную форму, приходим к следующей системе векторных линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений сплайна и его производных:

где -квадратные числовые матрицы порядка составленные из матриц согласно алгоритму МКЭ:

-столбец правой части системы уравнений, составленный из вектор-столбцов согласно алгоритму МКЭ:

-столбец с краевыми условиями для сплайна, формируемый из контурного интеграла функционала (3.26).

Аналогично выглядит система уравнений для аппроксимирующего сплайна, полученного на основе функционала (3.30). В этом случае матрица следует из второго члена в функционале (3.30), как для точечной квадратичной аппроксимации, рассматриваемой в разделе 3.5.

При построении интерполяционного сплайна величины необходимо считать известными согласно условиям интерполирования

Величины производных в узлах сетки А сплайна вычисляются также из системы вида (3.34), но не содержащей матриц

Если краевые значения производных сплайн-поверхности неизвестны, то их необходимо вычислить. Для сплайнов, получаемых на основе функционалов (3.26), (3.29), (3.30), краевые значения производных могут быть вычислены на основе следующего функционала:

где

-реакции сплайна в узлах коэффициент, назначаемый расчетчиком из условия число узлов, находящихся на контурной линии области .

Так же как и для одномерных сплайнов, условия минимума функционала (3.36) дают дополнительные уравнения, позволяющие вычислить краевые значения производных для сплайна, т. е. значения

Для вычисления матриц необходимо воспользоваться квадратурными формулами, так как под знаками интегралов получаются весьма громоздкие выражения. Техника вычисления этих матриц с применением квадратурных формул Гаусса хорошо разработана в алгоритмах решейия задач механики деформируемого твердого тела на основе МКЭ [21, 39, 79].

Системы уравнений вида (3.34), получающиеся в результате применения МКЭ, решаются методом Гаусса с обходом нулевых элементов, методом квадратного корня по схеме Холецкого, фронтальным методом [5, 39, 47] и другими.

В заключение следует отметить, что при исследованиях пластин Кирхгофа по МКЭ накоплен большой опыт по построению функций формы, по улучшению точности и сходимости численных алгоритмов, по уменьшению влияния несовместности получающихся КЭ.

При этом большое внимание уделено гибридным схемам МКЭ и смешанным функционалам, которые следуют из функционала Лагранжа для пластины Кирхгофа. Все эти достижения без ограничений могут быть применены для решения задачи построения сплайн-поверхности на основе векторного уравнения (3.25). Один из смешанных сплайновых функционалов рассмотрен в работе [98].