6.4. Условия пологости поверхности сложной формы относительно поверхности отсчета, отнесенной к произвольным криволинейным координатам

Пусть расстояние между поверхностями таково, что для его производных по имеют место условия

При выполнении этих условий в каждой точке приближенно будут выполнены условия изометричности преобразования поверхности о в поверхность

так как согласно (5.78) с точностью с учетом (5.49) имеем приближенные формулы

Выясним смысл дифференциального параметра Бельтрами определяемого формулой (5.83). Для этого вычислим

относительное изменение элемента площади поверхности о при ее переходе в поверхность о. Площади элементов поверхностей с учетом (5.86), (5.90) вычисляются по формулам

а относительное изменение площади равно

следовательно, характеризует относительную деформацию поверхности а. Пренебрегая этой величиной по сравнению с единицей

согласно формуле (5.86) получаем приближенное равенство

справедливое, очевидно, при выполнении условий

На основании (6.58) из выражения производной

можно записать приближенные равенства

которые при выполнении условий (6.55) и (6.60) будут иметь место лишь тогда, когда на величины и будут наложены ограничения

Сформулированные условия (6.55) и (6.62), являющиеся обобщающими условия (6.23) и (6.27), назовем условиями пологости поверхности сложной формы относительно поверхности отсчета, отнесенной к произвольным криволинейным координатам. Так как при согласно формуле (6.14)

то с учетом (6.61) символы Кристоффеля второго рода на поверхности а оказываются равными

и, кроме того, при выполнении приближенных равенств (6.61) согласно (5.117)

Следовательно, для поверхностей сложной формы, пологих относительно поверхности отсчета, в каждой точке ковариантные производные относительно с принятой степенью точности можно заменить ковариантными производными относительно метрического тензора поверхности проведенной через рассматриваемую точку эквидистантно поверхности отсчета; например, для компонент некоторого вектора а будут иметь место формулы

С такой же степенью точности упрощаются формулы (5.91), (5.100)

а также выражения (5.111) для коэффициентов второй квадратичной формы

и формулы (5.97), (5.101)

причем в силу (6.64) производные векторов будут выражаться по формулам

Наконец, покажем, что при выполнении условий пологости гауссовы кривизны поверхностей оно равны между собой. Для этого, умножая уравнения Гаусса (см. [20, формула на получим

Однако в силу приближенных равенств (6.61) в данной зависимости вторые слагаемые обращаются в нуль

поэтому для поверхности о, пологой относительно будет иметь место приближенная зависимость

Полагая в этой зависимости для главных значений тензоров кривизны находим соотношение

Так как то

ввиду чего из (6.73) следует равенство

или

Заметим, что полученный результат справедлив в силу выполнения приближенного равенства

следующего из уравнения Гаусса (6.72) с точностью