6.4. Условия пологости поверхности сложной формы относительно поверхности отсчета, отнесенной к произвольным криволинейным координатам
Пусть расстояние 
между поверхностями 
таково, что для его производных по 
имеют место условия
При выполнении этих условий в каждой точке 
приближенно будут выполнены условия изометричности преобразования поверхности о в поверхность 
так как согласно (5.78) с точностью 
с учетом (5.49) имеем приближенные формулы
Выясним смысл дифференциального параметра Бельтрами 
определяемого формулой (5.83). Для этого вычислим
относительное изменение элемента площади поверхности о при ее переходе в поверхность о. Площади элементов поверхностей 
с учетом (5.86), (5.90) вычисляются по формулам
а относительное изменение площади 
равно
следовательно, 
характеризует относительную деформацию поверхности а. Пренебрегая этой величиной по сравнению с единицей
согласно формуле (5.86) получаем приближенное равенство
справедливое, очевидно, при выполнении условий
На основании (6.58) из выражения производной
можно записать приближенные равенства
которые при выполнении условий (6.55) и (6.60) будут иметь место лишь тогда, когда на величины и 
будут наложены ограничения
Сформулированные условия (6.55) и (6.62), являющиеся обобщающими условия (6.23) и (6.27), назовем условиями пологости поверхности сложной формы относительно поверхности отсчета, отнесенной к произвольным криволинейным координатам. Так как при 
согласно формуле (6.14)
то с учетом (6.61) символы Кристоффеля второго рода на поверхности а оказываются равными
и, кроме того, при выполнении приближенных равенств (6.61) согласно (5.117)
Следовательно, для поверхностей сложной формы, пологих относительно поверхности отсчета, в каждой точке 
ковариантные производные относительно 
с принятой степенью точности можно заменить ковариантными производными относительно метрического тензора 
поверхности 
проведенной через рассматриваемую точку эквидистантно поверхности отсчета; например, для компонент некоторого вектора а будут иметь место формулы
С такой же степенью точности упрощаются формулы (5.91), (5.100)
а также выражения (5.111) для коэффициентов второй квадратичной формы
и формулы (5.97), (5.101)
причем в силу (6.64) производные векторов 
будут выражаться по формулам
Наконец, покажем, что при выполнении условий пологости гауссовы кривизны поверхностей оно равны между собой. Для этого, умножая уравнения Гаусса (см. [20, формула 
на 
получим
Однако в силу приближенных равенств (6.61) в данной зависимости вторые слагаемые обращаются в нуль
поэтому для поверхности о, пологой относительно 
будет иметь место приближенная зависимость
Полагая в этой зависимости 
для главных значений тензоров кривизны находим соотношение
Так как 
то
ввиду чего из (6.73) следует равенство
или
Заметим, что полученный результат справедлив в силу выполнения приближенного равенства
следующего из уравнения Гаусса (6.72) с точностью 
