Глава 4. ПОСТРОЕНИЕ СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

4.1. О постановке задачи построения сеток

При применении численных методов решения одномерных, двумерных и трехмерных задач механики деформируемого твердого тела в произвольных криволинейных областях возникают важные геометрические задачи построения сеток и криволинейных границ ячеек сеток. Задачи механики деформируемого твердого тела в дальнейшем будем называть просто задачами механики.

Задача построения сетки состоит в том, что в расчетной области необходимо расположить определенным образом заданное число узлов сетки так, чтобы на ней было возможно применение выбранного численного метода решения задач механики. Построенная сетка должна быть в некотором смысле оптимальной, например обеспечивать при заданном числе узлов наибольшую точность решения задач механики или описания формы объекта исследования, тензоров квадратичных форм для параметризуемого тела. Метод построения сеток должен быть достаточно универсальным, алгоритмичным (с точки зрения реализации его на ЭВМ) и пригодным для синтеза сеток. Далее, метод построения сеток должен требовать как можно меньше исходной информации, максимально исключать вмешательство расчетчика в алгоритм решения задачи на ЭВМ, не допускать неопределенных и нестандартных ситуаций, не требовать больших затрат машинного времени при реализации, обеспечивать алгоритмичность реализации задач механики на ЭВМ.

Этот перечень требований можно продолжить для каждой конкретной задачи построения сеток, если учитывать еще и особенности решаемой задачи.

Задача построения криволинейных границ сеток состоит в нахождении уравнений границ ячеек построенной сетки. Отметим, что при решении ряда задач механики, например, методом конечных разностей в декартовых координатах задачу построения криволинейных границ сеток решать не требуется, достаточно определить только координаты узлов сетки. Для других методов в узлах сетки должны быть известны компоненты метрических тензоров параметризованной области, а границы ячеек сетки также не нужны. Так ставится задача при применении, например, метода криволинейных сеток (конечных разностей) в неканонических областях, описываемых аналитическими параметризациями.

Если для решения задач механики выбранным методом необходимо определять как узлы сетки, так и криволинейные границы ее ячеек, то такую геометрическую задачу будем называть задачей построения криволинейных сеток. Задача построения криволинейных сеток возникает при решении задач механики для изотропных тел со сложным очертанием границ, так как для повышения точности решения необходимо возможно точнее описывать границы ячеек сетки, совпадающие с границей исследуемого тела. Для внутренних ячеек сетки можно принимать и прямолинейные границы. В этом случае для ячеек вблизи границы приходится строить параметризацию в криволинейных координатах, а для внутренних — чаще всего в декартовой системе координат. При этом обе параметризации должны быть совместными, что трудно и, более того, не всегда осуществимо. При практических расчетах в принципе допустимы и несовместные параметризации. Однако это приводит или к существенным погрешностям решения задач механики, так как на несовместной параметризациии невозможно строить совместные аппроксимирующие функции, или к большим пересчетам в зонах сопряжения ячеек сетки с различными параметризациями, поскольку расчетные зависимости в точках сопряжения должны быть записаны для какой-то одной системы координат. Таким образом, с точки зрения повышения точности расчета и удобства решения задачи параметризации криволинейные координаты должны плавно изменяться по всей исследуемой области.

При решении задач механики для подкрепленных и анизотропных тел расчетная сетка должна описывать линии сопряжения тела и подкрепляющих криволинейных конструктивных элементов, линии анизотропии тела, которые могут образовывать сложную пространственную криволинейную сеть. Если сетка строится без учета подкреплений или сети линий анизотропии, то алгоритм решения задач механики существенно усложняется, что отражается и на точности расчета в связи с необходимостью преобразований искомых величин, вычисляемых на различных этапах реализации алгоритма, из одной системы координат в другую. Из предыдущего видно, что задача построения сеток для решения задач механики является актуальной. Следует отметить, что эта задача для тел сложной формы недостаточно формализована в терминах понятий математики в силу ее многовариантности. Поэтому при разработке практических алгоритмов построения сеток преобладают эвристические подходы. Мы не будем утомлять читателя весьма длинным списком Литературы по эвристическим методам построения сеток.

В настоящей главе рассматриваются способы построения сеток, базирующихся на работах С. К. Годунова и Г. П. Прокопова [13, 26—28, 111, 116], в которых для построения сеток предложено применять отображающие дифференциальные операторы и соответствующие им сеточные функционалы. Этот подход позволяет достаточно полно формализовать задачу построения сеток

Рис. 4.1

понятиями математического и функционального анализа, а также вычислительной математики и сводит до минимума эвристические моменты в общем алгоритме построения сеток. Отметим, что упомянутые способы построения сеток имеют много общего с методами построения сплайнов, в том числе функциональных, которые также основываются на применении дифференциальных операторов для восстановления неизвестной функции по некоторым отдельным ее значениям или интегральным характеристикам [10—12, 102, 103]. Эти способы построения сеток разрабатывались в основном для численного решения многомерных задач газовой динамики [26].

Здесь далее применяется векторно-параметрическая форма представления исходных уравнений и функционалов для построения сеток и дается модификация сеточных дифференциальных операторов и функционалов, необходимая для эффективного численного решения задач механики деформируемого твердого тела. Рассмотрено применение численных методов для решения сеточных уравнений (интегроинтерполяционного, МКЭ, МГЭ), а также приближенных аналитических методов (Ритца и Бубнова-Галеркина). Приближенные аналитические методы построения сеток превращаются при этом в специальные приближенные методы параметризации, позволяющие для произвольной точки тела построить криволинейные координатные линии в виде аналитических выражений, зависящих от простейших функций. Такие способы необходимы при применении приближенных аналитических методов для решения задач механики.

Перейдем непосредственно к формулировке задачи построения сеток [85, 91].

Рассмотрим отображающий радиус-вектор произвольной точки тела, которому соответствует область Здесь -некоторая выбранная сеть параметров, удовлетворяющая условию: сеть должна обеспечивать взаимно непрерывное однозначное соответствие точек, находящихся на где -граница области -граница области параметров Область У должна быть гомеоморфной области V (рис. 4.1). Радиус-вектор должен обеспечивать взаимно однозначное непрерывное соответствие между точками областей Такое отображение может быть выполнено множеством способов всюду, за исключением точек, принадлежащих и

Условия отображения точек на очевидно, необходимо принять качестве краевых условий при отображении Следовательно, для отображения может быть выбран довольно широкий класс функций таким образом, можно построить бесчисленное множество сеток по некоторой простейшей заданной сетке Так как при построении сеток достаточно отобразить только точки сетки чтобы получить точки сетки то для аппроксимации радиуса-вектора можно выбрать класс функций, удовлетворяющих векторному уравнению второго порядка. В работах [26—28, 115] для этой цели выбрано уравнение Лапласа.

Рассмотрим более общее уравнение второго порядка для построения сеток

где -линейный симметричный дифференциальный оператор, определенный согласно выражению (4.1); —тензор весовых параметров, задаваемых при построении сеток "с целью сгущения ее узлов в нужных зонах; -дискриминант первой основной квадратичной формы пространства области параметров -контравариантные компоненты метрического тензора пространства параметров -управляющая вектор-функция, задаваемая при построении сеток с целью смещения некоторых ее зон.

Примем следующие краевые условия для уравнения (4.1):

где -определяет отображение точек сетки, находящихся на границе области в соответствии с выбранной сетью параметров

Задача построения сеток состоит в решении уравнения (4.1) при краевых условиях (4.2). Задавая различным образом, можно получить различные сетки, удовлетворяющие требованиям, связанным с решением задач механики.

В заключение следует отметить, что алгоритм решения задачи построения сеток зависит от метода решения уравнения (4.1) при условиях (4.2).