8.3. Параметризация срединной поверхности круговой цилиндрической оболочки с косыми срезами

Рассмотрим задачу параметризации срединной поверхности круговой цилиндрической оболочки радиуса имеющей косые срезы, расположенные под углами к плоскостям нормальных срезов (рис. 8.3).

Рис. 8.3

Для цилиндрической поверхности, как уже отмечалось в разделе 5.7, в качестве гауссовых координат обычно принимают расстояние вдоль образующей и полярный угол задавая радиус-вектор произвольной точки уравнением

где -орты прямоугольных декартовых координат (см. рис. 8.3).

В соответствии с уравнением (8.30) имеем следующие выражения для параметров Ляме и кривизн:

а также для единичных векторов:

В соответствии с подходом, изложенным в предыдущем разделе, на выберем каноническую область с контурными линиями совмещенными с координатными линиями При ее отображении на область можно положить

где и —неизвестные функции от 0.

Граничные значения функции при равны отрезкам и (см. рис. 8.3), т. е.

Во втором из этих равенств знак взят потому, что при фиктивной деформации области точки контура перемещаются в направлении, противоположном положительному направлению вектора

Получим выражения для определения отрезков и Рассматривая треугольник (точка -пересечение оси с перпендикуляром, опущенным на нее из точки В), запишем

С учетом этого равенства из рассмотрения треугольников и имеем

следовательно, граничными условиями для функции будут

Подчиняя разложение (8.33) условиям (8.34), для величин и получим формулы

следовательно, формула (8.33) запишется в виде

где введены обозначения

Итак, отображение области 6 а на область а в рассматриваемом случае осуществляется с помощью векторного равенства

в котором величины определяются по формулам (8.30) и (8.35). Координатными линиями данной параметризации являются по-прежнему линии образующей цилиндра сжатые в направлении а также линии пересечения поверхности а и пучка плоскостей, ось которого параллельна оси и проходит через точку (см. рис. 8.3).

Внося выражение (8.35) в формулы (8.20) и принимая во внимание равенства (8.31) и (8.32), получим

При этом согласно (8.36) и (8.22) компоненты первого метрического тензора в точках области оказываются равными

а формула для определения дискриминанта метрического тензора примет вид

Используя (8.38), по формулам (8.24) найдем

Подставляя эти выражения в (8.28), с учетом равенств (8.31) получим

Здесь принято во внимание, что

Из формулы (8.25) с учетом (8.39) и (8.31) найдем величину

Внося полученные выражения (8.38), (8.40) и (8.41) в (8.29) и принимая во внимание (8.31), найдем компоненты второго метрического тензора

Следовательно, построенное отображение обладает тем свойством, что в соответствующих точках компоненты второго метрического тензора поверхности между собой равны.

Через найденные компоненты тензора по формулам (5.141) могут быть найдены символы Кристоффеля второго рода, которые в рассматриваемом случае оказываются равными

Входящие сюда величины определяются по формулам (8.36) и (8.38).

Построенная параметризация справедлива не только для замкнутой оболочки, но и для незамкнутой цилиндрической панели с косыми срезами, у которой контурные линии совпадают с линиями образующей Для решения задач механики оболочек она использовалась в ряде работ, в частности в работе [44].