6.2. Отображение плоскости на поверхность. Геометрия срединной поверхности пологой оболочки

Вернемся еще раз к задаче отображения плоскости на поверхность а с помощью равенства (5.64). Так как для всех плоскостей , параллельных в силу имеют место равенства

то в точке выражения для базисных векторов (5.71) и компонент метрического тензора (5.75) примут вид

Для дискриминанта а метрического тензора получаем формулу

которая в соответствии с (5.75) в силу представима в виде

Здесь по-прежнему

Вместо формул (5.99), (5.114), (5.116) будем иметь

где

Вектор единичной нормали к поверхности а будет определяться по формуле

Так как в рассматриваемом случае то производные вектора по равны

а коэффициенты второй квадратичной формы поверхности о и взаимные базисные векторы на ней определяются по формулам

Рассмотрим частный случай, соответствующий параметризации плоскости отсчета прямоугольными декартовыми координатами когда радиус-вектор произвольной ее точки определяется равенством

Здесь -орты декартовых осей координат.

В соответствии с (6.15) компоненты первого метрического тензора его дискриминант и символы Кристоффеля на плоскости равны

в силу чего Поэтому согласно приведенным выше формулам

Анализ соотношений позволяет сформулировать известное в теории оболочек понятие пологости срединной поверхности а относительно плоскости. Прежде всего установим условия, накладываемые на функцию Я, при выполнении которых координатные линии на поверхности а, параметризованной уравнением

можно считать почти ортогональными.

Пусть —угол между координатными векторами для определения которого имеют место формулы

Отсюда следует, что координатные линии соответствующие координатным линиям являются почти ортогональными, если для величин во всех точках определения координат имеют место оценки (е—некоторая малая величина, которой можно пренебречь по сравнению с единицей)

так как с точностью можно считать

С такой же степенью точности в соответствии с формулами (6.17) — (6.19) можно положить

что соответствует предположению о приближенном выполнении условия изометричности отображения плоскости на поверхность , записываемого в виде

Считая справедливыми формулы (6.24), в соответствии с (1.25) предполагается выполнение приближенных равенств

Однако, как следует из (6.20), данные равенства будут выполнены лишь, в том случае, если на вторые производные от функции наложить сильные ограничения

В этом случае коэффициенты второй квадратичной формы поверхности а оказываются величинами порядка так как для них согласно (6.21) с точностью имеют место приближенные формулы

При выполнении ограничений (6.23) гауссова кривизна поверхности о будет вычисляться по приближенной формуле

и при выполнении ограничений (6.27) оказывается величиной порядка

При этом с принятой степенью точности тождественно удовлетворяются как условие Гаусса, так и условия Кодацци.

Совокупность ограничений (6.23) и (6.27), накладываемых на функцию Я, позволяющих считать первую метрическую форму срединной поверхности а совпадающей с метрической формой координатной плоскости, а ее гауссову кривизну почти нулевой, принято считать геометрическими условиями пологости оболочки. Допуская обычную для инженерных расчетов погрешность 5% и полагая для находим предельные значения Следовательно, предельные значения углов между векторами на на при которых поверхность а можно считать пологой, ограничены неравенствами

Обобщением полученных результатов на случай параметризации плоскости произвольными координатами является выполнение условий

При выполнении условий (6.32) отображение срединной поверхности оболочки на координатную плоскость можно считать почти нзометричным и с точностью возможны упрощения вида

При выполнении же дополнительных ограничений (6.33) в соответствии с (6.9)

что позволяет гауссову кривизну поверхности о считать почти нулевой, а ковариантное дифференцирование по метрике заменить ковариантным дифференцированием по метрике на плоскости; например, с точностью для любого вектора а имеют место формулы