3.3. Аппроксимация регулярной поверхности алгебраическими многочленами

Задача аппроксимации поверхностей возникает, во-первых, в случае, когда исходная непараметризованная поверхность задана в аналитическом виде и необходимо получить параметрическое уравнение поверхности в виде (3.4) или (3.7); во-вторых, при построении интерполяционных многочленов (3.4) или (3.7), если в исходных данных задачи интерполирования (т. е. в величинах содержатся ошибки измерений или предыдущих вычислений; в-третьих, когда количество измерений превышает их количество, необходимое для построения многочленов (3.4) или

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для аппроксимации поверхности алгебраическими многочленами. Согласно этому методу аппроксимирующий многочлен должен минимизировать следующий функционал:

где —радиус-вектор произвольной точки аппроксимируемой поверхности —аппроксимирующий многочлен согласно выражению (3.4) или (3.6); -весовая функция, назначаемая в зависимости от значимости измерения или величины в рассматриваемой точке.

При аппроксимации в прямоугольной области вместо многочлена Лагранжа (3.4) можно применить алгебраический

многочлен в обычном виде

где -неизвестные векторы, подлежащие определению из условий минимума функционала (3.8).

Представим многочлены (3.6) или (3.9) в следующем виде:

где — матрица-строка, составленная из последовательности образующих многочлен базисных функций:

— для многочлена (3.6);

— для многочлена (3.9); -вектор-столбец значений неизвестных вектор-коэффициентов многочленов (3.6) или (3.9), составляемый согласно матрицам В.

Подставляя (3.10) в (3.8) и минимизируя получившуюся при этом квадратичную форму, приходим к системе векторных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных вектор-коэффициентов многочлена (3.10):

где -квадратная числовая матрица;

— числовой столбец.

Решая систему векторных уравнений (3.11), находим значения вектор-коэффициентов в многочленах (3.6) или (3.9).

Следует отметить, что если поверхность не параметризована или параметризована сложными аналитическими выражениями, то определенные интегралы в необходимо находить численно с применением квадратурных формул. Матрица К несложно вычисляется как для прямоугольной, так и для треугольной областей

Рассмотрим вопрос об улучшении качества аппроксимации. Для задач механики оболочек важно наиболее точно вычислить вторые производные от радиуса-вектора поверхности так как через них определяются кривизны срединной поверхности оболочки, входящие в уравнения деформирования оболочек. Как было отмечено ранее, многочлены высоких степеней подвержены явлению

осцилляции. Поэтому желательно сгладить аппроксимирующий многочлен таким образом, чтобы вторые производные от радиуса-вектора поверхности были с минимальными осцилляциями. Для этого выполним регуляризацию [52, 104] функционала (3.8), добавив в него член со вторыми производными. Тогда задача нахождения аппроксимирующего многочлена (3.10) сведется к минимизации функционала

где —параметр регуляризации, назначаемый при расчете.

Подставляя в функционал (3.12) аппроксимирующий многочлен (3.10) и минимизируя получившуюся при этом квадратичную форму, приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных вектор-коэффициентов многочлена (3.10):

где

— квадратная числовая матрица;

— производные от матрицы В(х, у).

Перейдем к рассмотрению задачи нахождения аппроксимирующего многочлена (3.10) для случая, когда информация о поверхности задана в некоторых точках. Будем искать многочлен вида (3.10), минимизирующий следующий точечный квадратичный функционал:

где —заданные значения радиуса-вектора аппроксимируемой поверхности в точках с номерами -количество точек, в которых заданы значения радиуса-вектора поверхности -значения многочлена (3.10) в точках, соответствующих точкам в области -весовой множитель, назначаемый при аппроксимации, в зависимости от значимости заданного значения радиуса-вектора

Отметим, что для числа заданных значений радиуса-вектора поверхности должны выполняться неравенства:

-для треугольной области параметров ,

-для прямоугольной области параметров

Подставляя многочлен (3.10) в функционал (3.14) и минимизируя получающуюся при этом квадратичную форму, приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных вектор-коэффициентов многочлена (3.10):

где -квадратная числовая матрица; -прямоугольная числовая матрица, -диагональная матрица, составленная из весовых множителей,

вектор-столбец правой части системы векторных уравнений; вектор-столбец, составленный из аппроксимируемых значений радиуса-вектора поверхности

Решая систему уравнений (3.15), находим значения неизвестных вектор-коэффициентов многочлена (3.10).

Для улучшения аппроксимирующего многочлена, получаемого методом точечной квадратичной аппроксимации, как и в методе интегральной среднеквадратичной аппроксимации, выполним регуляризирующую модификацию функционала (3.14) согласно выражению

где —параметр регуляризации, назначаемый при расчете.

Из условий минимума функционала (3.16) следует система векторных линейных алгебраических уравнений

где матрица определяется, как и для системы (3.13).

В заключение отметим, что функционалы (3.8), (3.14) могут быть модифицированы различными способами в зависимости от целей регуляризации. Так, если требуется улучшить первые производные от аппроксимирующего многочлена (3.10), то добавочный член может быть представлен в следующем виде:

который также приводит к дополнительным членам в системах уравнений (3.11) или (3.15).