4.3. Применение метода конечных элементов для построения сеток

Энергетический функционал, соответствующий векторному уравнению (4.1), запишется в виде [52]

где -граница области

Здесь приняты следующие краевые условия для уравнения (4.1), при которых оператор положительно определенный и симметричный:

где —произвольная скалярная функция, которая в дальнейшем исключается из расчетных выражений; —внешняя нормаль к -границе области .

Для применения МКЭ выберем сетку с произвольными ячейками в виде тетраэдров или гексаэдров, а также с комбинацией этих ячеек. Примем и постоянными в пределах ячеек сетки где -количество ячеек расчетной сетки Запишем следующие аппроксимирующие функции для радиуса-вектора в пределах ячеек сетки :

где -полиномиальные пробные функции, принятые для аппроксимации согласно МКЭ матрица-строка, составленная из пробных функций; -столбец значений радиуса-вектора в узлах ячейки сетки -множество номеров узлов ячейки, соответствующей подобласти V%.

Отметим, что для построения сеток не следует применять полиномы высоких порядков, так как при этом не всегда необходима высокая точность определения координат узлов сетки

Подставляя выражения (4.12) в функционал (4.10) и выполняя интегрирование в пределах подобластей получим следующую квадратичную форму:

где -матрица-столбец порядка составленная из матриц согласно алгоритму -квадратная матрица порядка аналогичная общей матрице жесткости, составленная из матриц согласно алгоритму -квадратная матрица порядка

составленная из матриц согласно алгоритму

— вектор-столбец значений радиуса-вектора в узлах сетки вектор-столбцы порядка соответственно;

-множество номеров ячеек сетки, содержащих участок границы

Матрицы в выражении (4.13) при простейших функциях (4.12) вычисляются по несложным формулам. При применении полиномов выше первой степени в (4.12) эти матрицы наиболее эффективно вычисляются на основе квадратурных формул

Записывая условия минимума квадратичной формы (4.13), получим следующую систему векторных линейных алгебраических уравнений:

где -нулевая матрица

Согласно краевому условию (4.11) исключим из системы (4.14) величины Тогда система уравнений (4.14) примет вид

где -матрица составленная из первых I столбцов мат рицы матрица составленная из столбцов матрицы -матрица -диагональная матрица,

в контурных узлах сетки А.

Решая систему (4.15) относительно искомых величин находим узлы сетки А. Здесь -заданная величина согласно краевым условиям (4.4).

Рассмотрим случай, когда значения не нужны для дальнейших расчетов. Представим систему (4.15) в виде

где К -матрицы порядков соответственно, полученные из матрицы разделением между строками матрицы порядков соответственно, полученные из матрицы разделением между строками -столбцы размерностью соответственно, полученные из столбца В разделением между элементами

Нетрудно видеть, что второе уравнение системы (4.16) позволяет найти независимо от