1.6. Основные метрические формы поверхности. Деривационные формулы Гаусса-Вейнгартена и ковариантное дифференцирование

Теория оболочек может быть построена на применении различных координатных систем, определяющих положение точек оболочки. Наиболее употребительной из них является специальная пространственная система координат, для которой одно из семейств координатных линий является семейством нормалей некоторой поверхности а. Множество таких координатных систем в [17] для краткости получило название -семейства.

Пусть -регулярная поверхность. Радиус-вектор любой точки расположенной вблизи , может быть представлен в виде

где -орт нормали, опущенной из точки на поверхность а; -радиус-вектор точки -основания этой нормали; -проекция вектора на нормаль поверхности, т. е. относительное расстояние точки до поверхности а.

Дифференцируя обе части (1.23) по и получим вектор-функции

составляющие в силу принятого предположения локальный базис правой ориентации рассматриваемой координатной системы из -семейства, и введем обозначения для скалярных произведений

Подсчитывая теперь компоненты метрического тензора, получаем

а квадрат длины дуги соединяющей две бесконечно близкие друг к другу точки оказывается; равным

где

— три квадратичные формы, определяющие метрику пространства в выбранной координатной системе. Первая из них называется первой основной метрической формой или первой, основной квадратичной формой поверхности, а величины

— ковариантными компонентами первого основного метрического тензора. Вторая называется второй основной квадратичной формой поверхности , а

— коэффициентами этой формы или ковариантными компонентами второго метрического тензора; коэффициенты третьей выражаются через коэффициенты первой и второй форм по формулам

Входящие сюда величины являются инвариантами второго метрического тензора, определяются выражениями

и носят название гауссовой кривизны и средней кривизны поверхности, причем -дискриминант первого метрического тензора, а контравариантные компоненты первого метрического тензора и смешанные компоненты второго метрического тензора. Для вычисления служат формулы

Базисные векторы на поверхности в общем случае являются переменными величинами. Поэтому дифференцирование любого вектора, представленного в виде разложения (1.20) или (1.22), сводится к дифференцированию базисных векторов Это дифференцирование выполняется по формулам Гаусса—Вейнгартена

Величины называются коэффициентами связности или символами Кристоффеля второго рода и определяются выражениями

из которых усматривается, что они симметричны относительно индексов Через компоненты первого метрического тензора символы Кристоффеля выражаются по формулам

Установим теперь правило дифференцирования поверхностного вектора. Пусть

Тогда

Внося сюда формулы для из (1.26), получим

Последнее равенство с помощью обозначения

можно представить в виде

Принято говорить, что равенство (1.28) определяет поверхностную ковариантную производную поверхностного контравариантного вектора.

Аналогичным образом можно получить формулу для ковариантной производной ковариантного вектора

где равенство

определяет поверхностную ковариантную производную ковариантного вектора.

Понятие ковариантной производной тензора, как и вектора, может быть введено различными способами. Следуя [110], его можно ввести, рассматривая, в частности, тензор вида образованный перемножением двух ковариантных векторов

Если потребовать, чтобы соблюдалось правило ковариантиого дифференцирования

то, используя (1.29), находим

откуда следует интересующая нас формула для ковариантной производной ковариантного тензора второй валентности:

Точно так же вводятся понятия поверхностных ковариантных ппоизводных тензоров любой валентности. Так, например,

В основу построения тензорного анализа может быть положено также использование понятий параллельного перенесения вектора и абсолютного дифференциала вектора, получивших широкое применение благодаря исследованиям Нордена [57].

Если в каждой точке некоторой кривой на поверхности задан вектор принадлежащий поверхности, то дифференциал этого вектора не принадлежит, вообще говоря, данной поверхности, так как в силу деривационных формул (1.26)

Отсюда следует, что полный дифференциал вектора разлагается на две части:

из которых первая принадлежит поверхности и названа в [57] внутренней, а вторая направлена по нормали и считается внешней частью дифференциала.

В [57] доказывается, что вектор, принадлежащий поверхности в точках кривой переносится параллельно вдоль этой кривой, если внутренняя часть его дифференциала равна нулю при любом значении

При этом, очевидно, выполняется равенство

и в силу независимости векторов условие параллельного перенесения сводится к системе уравнений

В точках некоторой кривой рассмотрим теперь произвольный тензор и соответствующую полилинейную функцию векторных аргументов

Будем дифференцировать значение этой функции, предполагая, что векторы переносятся параллельно вдоль указанной кривой, т. е. выполнены условия

В результате будем иметь

Так как величина как дифференциал инварианта, есть тоже инвариант, который в силу строения правой части выписанного равенства является полилинейной функцией векторных аргументов то выражения

будут компонентами тензора. Этот тензор получил название абсолютного дифференциала данного тензора [57].

Аналогичным образом устанавливаются выражения для абсолютных дифференциалов контравариантных и смешанных компонент рассматриваемого тензора, в частности

На основе описанных понятий введем теперь понятие ковариантной производной рассматриваемого тензора [57].

Если задано тензорное поле, т. е. значение тензора отнесено к каждой точке некоторой двумерной области, то дифференциал компонент тензора может быть выражен через их частные производные, в частности

а компоненты его абсолютного дифференциала представляются в виде

Свернем правую и левую части этого равенства с произвольными векторами Так как есть тензор, то левая, а следовательно, и правая части будут выражать полилинейные функции четырех векторов Отсюда следует, что величины в скобках, для которых введем обозначение

представляют собой компоненты тензора, валентность которого на единицу больше валентности данного тензора. Построенный тензор называется ковариантной производной данного тензора [57].

Изложенным способом устанавливаются и выписанные выше формулы для ковариантных производных (1.28), (1.29) и другие.

Приведенные в данном разделе формулы Гаусса-Вейнгартена, квадратичных форм, ковариантных производных и ряд других лежат в основе построения соотношений теории оболочек общего вида. Поэтому в последние, как правило, входят все указанные выше величины Определение этих величин представляет собой предварительную геометрическую задачу, включающую также и задачу построения или аппроксимации поверхности При решении последней для задания вектор-функции могут быть использованы различные способы, изложенные в главах 2, 3, 5—8.