7.1.2. Параметризация области в виде трапеции или треугольника полярно-косоугольными координатами

Пусть область пластины на плоскости а имеет вид треугольника или трапеции (рис. 7.3, О - начало координат).

Границы областей и будут совпадать с координатными линиями, если в качестве последних выбрать семейство линий параллельных стороне и семейство лучей исходящих из центра О. Положение произвольной точки при таком способе параметризации может быть определено расстоянием от центра О до точки и полярным углом между координатной осью и лучом (см. рис. 7.3).

Из рассмотрения треугольника можно установить зависимости

где —заданный угол. Из этих формул выразим

следовательно, радиус-вектор точки равен

Из (7.7) найдем зависимости, обратные (7.8):

Якобиан отображения, определяемого системой функций (7.10), равен

Из (7.11) следует, что при отображение (7.10) взаимно однозначно всюду, за исключением точки О с координатами

Рис. 7.3

Рис. 7.4

Дифференцируя (7.9) по найдем координатные векторы основного базиса линий

При этом ковариантные компоненты первого метрического тензора равны

а дискриминант этого тензора

При необходимости подстановкой полученных выражений в формулы (1.25) могут быть вычислены символы Кристоффеля которые входят в основные соотношения теории пластин, если их отнести к построенной метрике (7.12).