7.7. Методические замечания к построению численно-аналитических алгоритмов

Методы параметризации для плоских областей, изложенные в рассмотренной главе, приводят к необходимости дифференцирования скалярных функций, обеспечивающих необходимое отображение. Если отображающие функции удается записать в виде явных аналитических выражений, то формулы, приведенные в разделах главы, позволяют получить все необходимые выражения для компонент метрического тензора и символов Кристоффеля, которые входят в уравнения механики пластин и оболочек.

Рассмотрим задачу, изложенную в разделе 7.4. Для параметризации области, гомеоморфной кольцу, необходимо задать две периодические функции Если исходная информация о функциях (7.47) задана дискретно или в виде неявных аналитических выражений, то для интерполирования или аппроксимации их удобно применить тригонометрические многочлены (2.8) [7, 47], алгоритм построения которых изложен в разделе 2.2. Так как тригонометрические многочлены обладают свойством периодичности, то они наиболее эффективны для аппроксимации периодических функций. Для вычисления производных от функций входящих в формулы для и необходимо заменить эти функции аппроксимирующими многочленами и выполнить необходимые математические операции.

Перейдем к рассмотрению задач, изложенных в разделах 7.5, 7.6. При дискретном способе задания отображающих функций необходимо выполнить их аппроксимацию алгебраическими многочленами или сплайнами, построение которых рассмотрено в разделах Если аппроксимируемые функции достаточно гладкие и задано небольшое количество узлов интерполяции на сторонах криволинейного четырехугольника, то проще применить алгебраические интерполяционные многочлены (2.7), (2.13). Как рекомендуется в руководствах по численным методам [5, 7, 47, 52], степень аппроксимирующего многочлена не должна быть высокой. На практике редко применяются алгебраические многочлены выше седьмой степени.

В случае, когда контур криволинейного четырехугольника (см. рис. 7.11-7.13) задан большим количеством узлов, целесообразно каждую контурную линию аппроксимировать сплайнами. Методы построения различных сплайнов изложены в разделах

Наибольшие практические приложения получили кубические сплайны (2.22), (2.27), (2.29) в силу того, что теория и алгоритмы их построения наиболее разработаны в вычислительной математике. Для построения сплайнов необходимо задать краевые условия или определить их одним из методов, изложенных в разделах

В случае, когда контурные линии заданы числом узлов большим, чем необходимо для построения алгебраических многочленов или сплайнов, следует применить сглаживание или аппроксимацию по методу наименьших квадратов.

Процедура сглаживания необходима также в случае, когда информация содержит ошибки измерений или алгоритма, определяющего форму криволинейного четырехугольника.

После того как выполнена аппроксимация функций вычисляются фиктивные деформации, компоненты метрического тензора и символы Кристоффеля согласно формулам полученным в разделе 7.2.