3.4. Применение одномерных сплайнов для интерполирования регулярной поверхности

Для интерполяции поверхности одномерными сплайнами необходимо задать поверхность параметров и сеть линий параметров на ней Поверхность должна быть гомеоморфной интерполируемой поверхности . В качестве удобно принять элементарную поверхность, ограниченную линиями параметров на простой полной поверхности о. При разработке практических алгоритмов параметризации поверхностей в качестве о могут быть приняты следующие простые (канонические) полные поверхности: круговая цилиндрическая, сферическая, круговая торовая, коническая, а также плоскость, на которых должны быть заданы наиболее удобные сети линий параметров. Наиболее простые и эффективные алгоритмы получаются, когда в качестве о принимается плоскость. На плоскости можно выбрать различные координатные системы для сети параметров прямоугольную (см. рис. 3.1), косоугольную, полярную, бицентрическую и другие [8, 55, 74, 106].

После того как выбрана поверхность параметров на ней строится расчетная сетка Да, где Затем на линиях по узловым значениям поверхности строятся криволинейные координатные линии с помощью алгебраических или тригонометрических интерполяционных многочленов или интерполяционных сплайнов. При этом применимы все изложенные в главе 2 методы интерполирования кривых на основе алгебраических и тригонометрических многочленов, интерполяционных сплайнов, построенных по различным алгоритмам. Следует отметить, что вид поверхности о и координатной сети влияет только на конкретные формулы для вычисления шага узлов в разрешающих уравнениях для интерполирования произвольных пространственных линий (см. главу 2). В результате построения координатных линий получается каркас поверхности Для решения ряда задач механики оболочек численными методами такая аппроксимация оказывается достаточной.

Другие методы требуют вычисления значений радиуса-вектора поверхности во внутренних точках ячеек сетки Для этого необходимы дополнительные представления о характере изменения поверхности в пределах ячейки сетки

Рассмотрим случай, когда представляет собой плоский прямоугольник с прямолинейной сетью параметров . В этом случае кубические сплайны позволяют аппроксимировать довольно широкий класс поверхностей, гомеоморфных прямоугольнику. Так как расчетные линии параметров при этом образуют прямоугольные ячейки сетки то возможно использование бикубических сплайнов [24, 38, 60],

которые записываются в виде

где

— столбец базисных функций согласно представлению для сплайна (2.22),

— квадратная вектор-матрица, составленная из значений радиуса-вектора поверхности и его производных

в узлах сетки

Производные от радиуса-вектора поверхности входящие в матрицу находятся в результате построения сплайнов согласно каким-либо из уравнений (2.27), (2.29), (2.32); (2.36); (2.38); (2.59); (2.61), и однократного вычисления смешанной производной. по этим же уравнениям.

Следует отметить, что представление (3.18) применимо в случае, когда матрица вычисляется методом векторных конечных разностей по узлам сетки в результате применения формул (3.16), (3.17) на линиях

Представление, аналогичное (3.18), возможно для функционального сплайна (2.65). Интерполяционным биэкспоненциальным сплайном двух переменных назовем вектор-функцию , которая в каждой подобласти сетки имеет следующий вид:

где базисных функций согласно представлению для сплайна

Сплайны вида (3.18) и (3.19) могут быть построены для случая, когда ячейки сетки А представляют собой четырехугольники, если выполнить преобразование переменных согласно выражению

где -значения параметров, соответствующих узлам рассматриваемой ячейки сетки

-выбранные значения новых параметров, соответствующих узлам прямоугольной ячейки новой сетки .

Согласно преобразованию (3.20) новые переменные образуют прямолинейную сеть параметров, а расчетные линии

параметров образуют прямоугольные ячейки сетки А. В результате в каждой ячейке сетки А возможно представление поверхности в виде (3.18) или (3.19).