8.7. Методические вопросы построения практических алгоритмов

В рамках методики решения задачи параметризации, изложенной в разделе 8.4, для входящих в (8.43), (8.47) функции построить явные аналитические выражения, как это было продемонстрировано в разделе 8.5, не всегда удается. В таких случаях, вообще говоря, отпадает и необходимость разбиения отображения на два последовательных отображения согласно векторным равенствам (8.43) и (8.47). В то же время нередко достаточно просто удается установить дискретные значения компонент вектора осуществляющие однозначное отображение отдельных точек контура и области в точки контура и области если параметризация области выполняется согласно векторному равенству

В произвольной ортогональной системе криволинейных координат на поверхности отсчета равенству (8.60) отвечают следующие выражения для координатных векторов ковариантного подвижного базиса на о и вектора единичной нормали

где

причем

В рамках (8.60) компоненты второго метрического тензора и символы Кристоффеля второго рода вычисляются по формулам

где

Определение в точках области обходящих в уравнения теории оболочек вепичин как следует из (8.61) — (8.69), требует вычисления производных от функций в развернутой форме которых в свою очередь содержатся производные от Для определения всех этих частных производных имеют место формулы:

которые включают в себя частные производные от фиктивных перемещений и до второго порядка включительно.

В рамках описанной схемы алгоритм параметризации области на поверхности состоит из следующих этапов:

1) в евклидовом пространстве выбирается поверхность отсчета канонического очертания, отнесенная к ортогональной системе гауссовых координат

2) на устанавливается каноническая область с контуром состоящим из четырех гладких отрезков координатных линий

3) в соответствии с (8.60) устанавливается однозначное соответствие точек и иначе говоря, определяются компоненты вектора фиктивных перемещений относительно единичных векторов

4) тем или иным способом вычисляются производные

5) составляются аналитические выражения для

6) по формулам (8.61), (8.74) устанавливаются значения

7) по формулам (8.65), (8.72) вычисляются компоненты тензора фиктивной деформации и их производные а затем в соответствии с (8.64) и (8.70) определяются ковариантные компоненты первого метрического тензора в точках области их производные

8) по формулам (8.63), (8.71) вычисляются дискриминант а и его производные а затем по формулам (8.68) определяются контравариантные компоненты первого метрического тензора;

9) по формулам (8.67) вычисляются символы Кристоффеля второго рода

10) вычисляются величины по формулам (8.69), (8.73), а затем в соответствии с (8.66) определяются ковариантные компоненты второго метрического тензора, используя для этого найденные на предыдущих этапах величины в рамках формул (8.62), (8.71).

При решении многих практических задач и выборе базы параметризации достаточно опираться на следующие известные координатные системы (неуказанные значения параметров Ляме, кривизн и кручения, а также их производных равны нулю):

1) -плоскость, декартова система координат:

2) -плоскость, полярная система координат:

Рис. 8.7

3) -круговой цилиндр радиуса

4) -круговой конус с радиусом меньшего основания и углом полураствора (рис. 8.7):

(кликните для просмотра скана)

Рис. 8.9 (см. скан)

6) -тор с радиусом поперечного сечения и радиусом а оси (рис. 8.9):

Аналогичные формулы нетрудно составить и для других ортогональных систем координат на

Рис. 8.10

Рассмотрим кратко вопросы, связанные с вычислением функций и их производных. Как уже выше отмечалось, соответствующим выбором поверхности отсчета и ее расположением относительно поверхности а в ряде случаев можно добиться нулевого значения одной или двух проекций вектора фиктивных перемещений Тривиальный случай есть полное совпадение области а с областью при этом описанный алгоритм выполняет лишь функцию преобразования параметров в их тензорные аналоги. При имеем вариант алгоритма параметризации методом, изложенным в главах 5 и 6; если же то получаем алгоритм, описанный в разделе 8.2.

При дискретном задании функций в рамках описанного выше алгоритма требуется выполнить их предварительную аппроксимацию, методы построения которых были рассмотрены в разделах Если функции достаточно гладкие и задано небольшое количество узлов интерполяции в области то практически приемлемые результаты, как показали исследования, можно получить при использовании интерполяционных многочленов невысокой степени. Некоторые вопросы построения таких алгебраических многочленов изложены в разделах 3.2, 3.8.

Рассмотрим известный треугольник Паскаля, по которому можно определить число членов в полном многочлене степени Введем в такой многочлен дополнительные слагаемые (рис. 8.10), появляющиеся при размещении узлов интерполяции в точках пересечения определенным образом выбранных на а координатных линий и Здесь -наибольшая степень многочлена по переменной переменной (см. рис. 8.10). Наибольшая степень многочлена с дополнительными слагаемыми в этом случае равна

а число узлов интерполяции

Интерполируемая функция очевидно, представима теперь в виде

где неизвестные коэффициенты определяются решением системы алгебраических уравнений

имеющей в общепринятой форме вид

Здесь

Для принятой интерполяции функции ее частные производные определяются по формулам

Изложенный алгоритм построения параметризации поверхности а нашел применение в расчетной практике при решении различных задач механики оболочечных элементов в изделиях конструкционной оптики летательных аппаратов и лопастей гребных винтов судов.