8.6. О геометрических параметрах контурных линий, совпадающих с отрезками координатных линий

Предположим, что одним из изложенных выше методов для области контур С которой состоит из четырех гладких кусков построена параметризация, т. е. контурным линиям соответствуют параметры и а контурным линиям и -параметры . В этом случае единичные векторы тангенциальной нормали и касательной к контуру С с базисными векторами в точках контурных линий согласно рис. 8.6 связаны зависимостями: на линии

Здесь и в дальнейшем все величины, относящиеся к контурной линии обозначены соответствующими индексами в круглых скобках.

Рис. 8.6

Рассмотрим одну из контурных линий например Векторы на ней представим в виде стандартных разложений (1.31) по базисным векторам

Сопоставляя формулы (8.50) и можно записать равенства

откуда следуют выражения для компонент

Остальные компоненты определяются по соответствующим формулам

которые в развернутой форме с учетом (8.54) принимают вид

По определению компоненты вектора в точках контурной линии равны

где -элемент длины дуги рассматриваемой кривой С.

Внося в левую часть данного равенства выражение для из (8.54), приходим на кривой к очевидной формуле

Обратимся к выражениям (1.36) и (1.38), служащим для определения величин:

На контурной линии совпадающей с отрезком координатной линии, из данных выражений с учетом (8.54) и (8.55) существенно упрощаются лишь первые три, служащие для определения величин:

Невыписанные формулы для определения следуют из последних двух выражений (8.57) подстановкой из (8.55).

На рассматриваемой контурной линии некоторый вектор а может быть представлен в виде разложения

в котором компоненты и через ковариантные компоненты с учетом (8.54) и (8.55) выражаются зависимостями

С использованием формул (8.54), (8.55) зависимости вида (8.59) при необходимости могут быть составлены для тензора любой валентности, если обратиться к соответствующим формулам пересчета.

Формулы вида имеютместо и для остальных контурных линий и выводятся путем сопоставления выражений (8.49), (8.51), (8.52) с разложениями (1.31) и после-. дующих преобразований, аналогичных проделанным выше.

В заключение отметим, что при построении практических алгоритмов, реализующих общий метод деформации поверхности отсчета, как составные части в них могут использоваться алгоритмы, изложенные в главах 5 и 7. Численно-аналитические методики решения задачи параметризации для оболочек сложной формы строятся согласно методическим рекомендациям, приведенным в разделах 5.7, 7.7.