21. Теорема вычетов.

Вернемся опять к разложению функции в ряд Лорана вблизи особой точки (полюса или существенно особой). В таком разложении мы выделили особо коэффициент при и дали ему особое название вычета функции в рассматриваемой особой точке. Выясним роль этого коэффициента. Итак, пусть имеется в окрестности точки b разложение

Проинтегрируем написанную формулу по какому-либо небольшому замкнутому контуру окружающему точку b, на котором напи санное разложение равномерно сходится:

Как мы видели выше все интегралы, стоящие справа, будут равны нулю, кроме одного, соответствующего случаю и этот интеграл будет равен , т. е. мы имеем

Рассмотрим теперь более общий случай. Положим, что f(z) регулярна в некоторой замкнутой области В с контуром за исключением конечного числа точек лежащих внутри области и являющихся для функции полюсами или существенно особыми точками. Обозначим через вычеты в этих особых точках. Выделим каждую из особых точек небольшим замкнутым контуром Согласно теореме Коши можем написать

Но, как мы видели выше, величина интеграла по каждому из контуров равна и, следовательно, предыдущее равенство выражает нам величину интеграла по контуру области через вычеты функции в особых точках, лежащих внутри области:

Теорема вычетов. Если функция регулярна в замкнутой области, за исключением конечного числа точек, лежащих внутри области (полюсы или существенно особые точки), то интеграл от функции по контуру области равен произведению на сумму вычетов в указанных особых точках.

В дальнейшем мы будем иметь многочисленные применения этой теоремы. Пока установим только некоторые теоретические следствия из доказанной теоремы, необходимые нам в дальнейшем. Прежде всего дадим практические правила вычисления вычета, не пользуясь разложением функции в ряд Лорана.

В качестве первого примера возьмем функцию, имеющую вид

где регулярны в точке b и так что функция (115) имеет, вообще говоря, в точке b полюс.

Положим, кроме того, что является простым корнем , т. е. что разложение в ряд Тейлора функции начинается с члена первой степени:

При этом функция (115) будет иметь простой полюс (первой кратности) и вблизи

Из последней формулы непосредственно следует, что для вычета можно написать

или, принимая во внимание, что равно

В качестве второго примера рассмотрим случай, когда функция имеет в точке b полюс любого порядка :

Произведение будет уже регулярной функцией в точке и коэффициент будет для этого произведения коэффициентом при откуда, вспоминая выражение коэффициентов в ряде Тейлора, будем иметь для вычета нашей функции следующее выражение:

Рассмотрим еще один пример. Положим, что имеет в точке b корень порядка , т. е. ряд Тейлора нашей функции с центром b начинается с члена, содержащего . При этом наша функция будет иметь вблизи точки b представление

где регулярна в b и отлична от нуля. Составим логарифмическую производную нашей функции:

Отсюда непосредственно видно, что точка b является простым полюсом для логарифмической производной, с вычетом, равным порядку корня самой функции

Если в точке b наша функция имеет не корень, а полюс кратности , то точно так же имеет место формула (118), но в ней следует заменить на и все последующие вычисления также сохраняются, т. е. если в некоторой течке функция имеет полюс некоторой кратности , то ее логарифмическая производная имеет в этой точке простой полюс с вычетом .