2. Основные правила дифференцирования векторов.

1. Производная суммы векторов равна сумме производных слагаемых. Если то

2. а) Производная произведения вектора на скаляр

б) Производная скалярного произведения двух векторов

в) Производная векторного произведения

Рис. 1.10

3. Рассмотрим производную вектора постоянной длйны. Если вектор а при изменении скалярного аргумента меняет свое направление, но сохраняет свою длину, имеем

Дифференцируя (1.45) в соответствии с (1.43) и в силу коммутативности скалярного произведения, получим

Из соотношения (1.46) следует, что вектор ортогонален вектору а. Покажем, что производная от единичного вектора (рис. 1.10), положение которого на плоскости задается скалярным аргументом (угол есть тоже единичный вектор.

Вектор перпендикулярен вектору и его можно записать в виде где единичный вектор, перпендикулярный к вектору . С другой стороны, можно представить как

Поэтому

так как

4. Рассмотрим вектор постоянного направления, который можно представить в виде

где единичный вектор неизменного направления. Дифференцируя (1.48), получим

Из (1.49) следует, что вектор параллелен, исходному вектору а, т. е. необходимым и достаточным условием сохранения вектором а своего направления в пространстве является равенство нулю векторного произведения

Найдем условия, при выполнении которых вектор а параллелен плоскости. Если вектор а, изменяясь (по длине и по направлению), остается все время параллельным некоторой плоскости, то он перпендикулярен любому вектору с, нормальному этой плоскости, т. е.

Если вектор а, изменяясь, остается в плоскости, то и векторы, характеризующие его производные лежат в этой плоскости, поэтому скалярно-векторное (смешанное) произведение векторов равно нулю:

Выполнение (1.50) и (1.51) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы вектор а, изменяясь по направлению и величине, оставался в плоскости, параллельной неизменной плоскости.

Рассмотрим производные единичных векторов по координате Так как производная от вектора по скалярному аргументу есть вектор, то представим его в виде разложения по базисным векторам

где элементы некоторой матрицы

Покажем, что матрица кососимметрична, т. е. Умножив скалярно (1.52) на получим

Так как то после дифференцирования по имеем

откуда в соответствии с (1.52) получаем

Из (1.54) следует т. е. матрица имеет всего три независимых элемента:

Элементы матрицы характеризуют геометрию кривой, с которой связан трехгранник осей. Геометрический смысл введенных величин устанавливается в § 3.

Аналогичные выражения можно получить и для производных векторов базиса

Вместо матрицы можно перейти к вектору и выражения для производных (1.52), (1.57) записать в виде

В развернутой форме записи имеем

Проделав аналогичные выкладки, можно получить следующее выражение для вторых производных:

или в развернутой форме записи

При перемещении трехгранника осей по пространственной кривой оси поворачиваются по отношению к первоначальному положению. Новое положение осей, как это было показано в § 1 п. 3, можно определить с помощью трех независимых углов поэтому и вектор и, характеризующий изменение положения осей, должен зависеть от этих углов.

Получим эти зависимости, воспользовавшись выражениями (1.60) и соотношениями

Дифференцируя имеем

Исключая из получим

Исключая получаем

Дважды встречающиеся индексы можно заменять на любые другие (новые), например в первом слагаемом в левой части можно заменить на в результате получим

Из выражения (1.67) получим

Найдем выражение для Полагая имеем

Получим развернутые выражения для вторых слагаемых в скобках:

Окончательно получаем

или

Проделав аналогичные выкладки, можно получить следующие выражения для

Подставив в (1.71) — (1.73) вместо их выражения через углы получим

В выражениях отсчитываются от положения осей которое принято за начальное.

Систему соотношений (1.74) — (1-76) можно записать в виде одного векторного соотношения, удобного при преобразованиях:

где

Вектор не равен вектору который характеризует геометрию кривой в начальном состоянии. Вектор имеет компоненты в базисе равные компонентам вектора в базисе Выражение (1.77) дает возможность установить, как изменяется вектор характеризующий геометрию кривой, если геометрия кривой в начальном состоянии известна. Найдем вектор характеризующий начальное состояние кривой, считая, что по отношению к декартовой системе координат известно положение базиса в каждой точке кривой. Углы, характеризующие положение базиса относительно базиса обозначим .

Базисные векторы связаны между собой матрицей

Следует отметить, что единичные векторы от не зависят. Дифференцируя по получим

Так как то после преобразований выражения (1.79) получим

Далее находим

или в векторной форме записи

Установим геометрический смысл компонент вектора

Рис. 1.11

Рассмотрим частный случай плоской кривой, лежащей в плоскости его). В этом случае при перемещении базиса по кривой векторы поворачиваются на угол остальные два угла тождественно равны нулю, поэтому из имеем

т. е. кривизна кривой; радиус кривизны кривой в произвольной точке (более подробно о геометрических свойствах кривых будет сказано в § 3).

Аналогично можно показать, что есть кривизна плоской кривой в плоскости следовательно, в общем случае пространственной кривой проекции кривизны пространственной кривой на плоскостях, определяемые векторами Рассмотрим частный случай кривой — прямую. При перемещении начала базиса по прямой возможен только поворот осей относительно вектора (совпадающего с этой прямой), т. е. Например, прямая является осью естественно закрученного стержня, у которого положение главных осей сечения (по которым направлены векторы зависит от координаты

Из выражений (1.81) — (1.83) получаем

В этом частном случае проекция вектора характеризует вращение связанного трехгранника осей относительно прямой, а для общего случая — относительно касательной к пространственной кривой. Аналогичный геометрический смысл имеют и компоненты вектора Напримердля плоской кривой в плоскости из (1-76) получаем (при )

Кривизна кривой в новом положении равна кривизне в начальном положении плюс изменение кривизны, вызванное «деформацией» кривой.

Получим выражения для производной вектора по координате

где -локальная частная производная, характеризующая изменение вектора а в связанной системе координат.