§ 5. Основные сведения из теории дифференциальных уравнений

Приведем уравнение (2.1) к безразмерной форме, полагая

где безразмерные величины,

Подставив введенные безразмерные величины, например в уравнение (2.1), после преобразований получим

где

Представим уравнение в виде системы уравнений первого порядка, полагая

где

Решение уравнения (2.9) имеет вид

где

Вектор находим, используя краевые условия. При известны две компоненты вектора решений (какие именно, зависит от конкретных краевых условий), что дает возможность сразу определить две компоненты вектора так как при где

Оставшиеся две компоненты вектора определяют из краевых условий для вектора решений на правом конце (при

Из (2.11) получаем два уравнения для определения оставшихся двух компонент вектора . В общем случае, когда уравнение (2.9) имеет коэффициенты, зависящие от в, матрицы и определяются, как правило, численными методами. Определив вектор решаем уравнение (2.9) как задачу Коши и определяем компоненты вектора о в зависимости от (численно). Матрица

удовлетворяет (как фундаментальная матрица решений) однородному матричному уравнению

При численном счете матрицу можно получить решая 4 раза уравнение вида

при следующих начальных условиях для компонент вектора а:

Получающиеся при этом решения являются столбцами матрицы

Для уравнений с постоянными коэффициентами матрица Грина равна фундаментальной матрице от разности аргументов

Справедливость равенства (2.14) можно показать следующим образом.

Для уравнений с постоянными коэффициентами

любая матрица вида является фундаментальной матрицей.

Если в уравнении (2.15) перейти к новому независимому переменному то получим

Так как то из сравнения уравнений (2.15) и (2.16) следует, что матрица удовлетворяет уравнению (2.15), т. е. является фундаментальной матрицей. Покажем, что и матрица вида также удовлетворяет уравнению (2,15). Заменив в на и умножив уравнение слева на матрицу получим

Из уравнения (2.17) следует (так как что матрица удовлетворяет уравнению (2.15), что и требовалось показать. Матрицы являются при любом фиксированном значении решениями уравнения (2.15). При (так как эти матрицы совпадают и из теоремы о единственности решения следует, что при любых

Рассмотрим матрицу

Полагая в получим поэтому

что и требовалось показать.

Общее решение системы уравнений с постоянными коэффициентами можно представить, учитывая (2.19), в виде