§ 32. Малые колебания движущихся стержней

Рассмотрим малые колебания стержней относительно прямолинейного движения (рис. 6.14). Подобного рода задачи возникают при исследовании вибраций ленточных пил, передач с гибкой связью, намоточных устройств, лентопротяжных механизмов.

1. Уравнения малых колебаний гибкого стержня, имеющего продольное движение.

Ограничимся случаем, когда инерцией вращения и сдвига при исследовании колебаний стержня постоянного сечения можно пребречь. Уравнение малых колебаний стержня получим, воспользовавшись переменными Эйлера, для которых имеем (6.2), (4.32)

Полагая получим (6.64) в безразмерной форме

поэтому уравнение малых колебаний (6.8) при примет вид (опуская, индекс «нуль» в безразмерной скорости и осевом усилии)

В частном случае при постоянной скорости движения из (6.65) получаем уравнение

2. Определение частот и форм колебаний.

Основная особенность уравнения (6.66) заключается в том, что оно содержит нечетную производную по времени (из-за силы Кориолиса), что осложняет определение собственных чисел краевой задачи. Наличие слагаемого с нечетной производной говорит о возможной неконсервативности задачи, при которой собственные значения могут быть комплексными числами. В ряде случаев установить, является ли рассматриваемая задача консервативной или неконсервативной, можно сразу.

Рис. 6.14

Например, для случая, показанного на рис. 6.14, задача является консервативной, так как кинетическая энергия, поступающая в единицу времени через сечение равна кинетической энергии элементов стержня, выходящих из сечения В. Поэтому участок стержня между сечениями колебания которого рассматриваются, имеет неизменный запас энергии, т. е. задача является консервативной. Для консервативной задачи собственные значения X, если искать решение (6.66) [или в более общем случае в виде являются действительными числами. Подставив выражение для и в (6.66), получим (полагая

В уравнении следует считать комплексным числом поэтому уравнение (6.67) эквивалентно двум уравнениям (разделяя действительные и мнимые части)

Систему уравнений (6.68) можно представить в виде одного векторного уравнения второго порядка

где

Задаваясь X при фиксированной скорости получаем

Решение (6.70) должно удовлетворять комплексным краевым условиям:

что эквивалентно следующим краевым условиям:

Выполнение краевых условий при приводит к следующим значениям первых четырех компонент вектора С:

Выполнение краевых условий при приводит к системе четырех однородных уравнений вида

Значения которые обращают определитель системы (6.71) в нуль

являются частотами.

При определении частот колебаний для уравнений, не содержащих нечетных производных по времени, как, например, для системы уравнений (6.44), определитель (6.63) в зависимости от значений к может менять знак. Поэтому при численном счете определить значения К, при которых определитель меняет знак, особого труда не представляет. Качественный характер изменения определителя (6.63) показан на рис. 6.15 пунктирной линией.

Рис. 8.15 Для уравнений малых колебаний, содержащих нечетные производные по времени, определитель при изменении знака не меняет. Качественный характер изменения от X показан на рис. 6.15 сплошной линией. Такой характер изменения определителя от К существенно осложняет

численное определение собственных значений Наиболее эффективным методом определения обращающих в нуль, является метод наискорейшего спуска.

Для каждого из найденных значений из системы (6.71) находим в зависимости от

Понимая под формой колебаний действительную часть комплексной функции получаем (положив,

3. Приближенное определение частот колебаний.

Для приближенного определения частот колебаний движущегося стержня воспользуемся принципом возможных перемещений. Решение уравнения (6.66) ищем в виде (при

где функции, удовлетворяющие краевым условиям задачи. В качестве таких функций можно взять функции, удовлетворяющие уравнению

Определяем возможные перемещения:

(функции удовлетворяют условию ортогональности).

В соответствии с принципом возможных перемещений получаем систему уравнений

или в развернутой форме записи

где

Можно показать (интегрируя по частям), что коэффициенты удовлетворяют условиям

Система уравнений (6.78) эквивалента векторному уравнению

где

Решение уравнения (6.80) ищем в виде и Для получаем характеристическое уравнение

Например, для двух слагаемых ряда (6.74) получаем уравнение для определения двух безразмерных частот

или

Частоты колебаний стержня равны

4. Малые колебания нити.

Уравнения малых колебаний движущегося гибкого стержня получим из уравнения (6.66), полагая Перейдя к переменным Эйлера и безразмерным величинам, в соответствии с выводом (6.65) получаем

5. Определение частот и форм точным методом.

Решение уравнения (6.85) ищем в виде что приводит к уравнению относительно

Полагая получим

где

Корни уравнения (6.87)

поэтому решение (6.86) имеет вид

Функция должна удовлетворять краевым условиям задачи: что приводит к уравнению

или

Условие (6.91) выполняется, если

Из (6.92) получаем точные значения частот колебаний движущейся нити

Как следует из (6.93), все частоты при стремятся к нулю.

Критическое значение безразмерной скорости продольного движения нити

совпадает со скоростью (безразмерной) распространения возмущений по нити.

Определив находим корни

где

Произвольные постоянные и С а связаны соотношением для любого Поэтому собственные функции краевой задачи следующие

Общее решение уравнения (6.86) имеет вид

Разделив действительные и мнимые части, получим, например, для

где

При и из (6.94) получается известное решение уравнений малых колебаний струны.

Функции удовлетворяют уравнению

где

Можно показать, что функции удовлетворяют условию ортогональности (на интервале 0; 1) следующего вида:

Интегрируя, получим

После преобразований имеем

Для получаем значения

6. Свободные колебания.

Если при струна имела отклонения и скорости, т. е.

где и известные функции, то получаем два выражения:

Умножаем (6.95) на а (6.96) на складываем и интегрируем от до 1, имеем

Второе уравнение для определения получим, умножив (6.95) на а (6.96) на вычитая получающиеся выражения и проинтегрировав

В результате получим систему двух уравнений (6.97) и (6.98) для определения .