Глава 7. Уравнения движения гибкого стержня и нити

§ 34. Векторные уравнения движения стержня

Рассмотрим элемент стержня (рис. 7.1) при движении. Он отличается от элемента стержня, используемого в статике (см. рис. 3.3), тем, что его центр тяжести имеет поступательную скорость и угловую скорость . В общем случае на элемент стержня могут действовать распределенные силы и моменты (рис. 3.3). При исследовании движения стержня внутренние силовые факторы (векторы а также являются функциями что приводит к уравнениям в частных производных. В гл. 3 рассмотрены два случая возможных переменных при описании кинематики сплошной среды (переменные Эйлера и Лагранжа). На элемент стержня, показанного на рис. 7.1, действует сила инерции

Если учитывать инерцию вращения элемента, то на элемент действует момент инерции

где диагональная матрица, элементами которой являются главные физические моменты инерции элемента стержня, длина которого равна единице. Входящие в (7.1) масса единицы длины и элементы матрицы могут быть и переменными по Для нерастяжимого стержня дуговая координата элемента стержня остается неизменной при движении, поэтому следует при описании движения стержня использовать переменные Лагранжа, что позволяет перейти в (7.1) и (7.2) к частным производным по

Воспользовавшись принципом Даламбера, получаем следующее векторное уравнение поступательного движения элемента стержня:

Рис. 7.1

Если учитывать инерцию вращения элемента, то уравнение, характеризующее вращение элемента стержня, имеет вид

Для большого числа прикладных задач инерцией вращения можно пренебречь (т. е. ), и тогда уравнение (7.5) тождественно совпадает (по записи) с уравнением (3.5), которое использовали при рассмотрении статики стержней. Но теперь (при уравнение (7.5) содержит векторы, изменяющиеся во времени.

Частные производные произвольного вектора а по можно представить через локальные производные, воспользовавшись соотношениями

Переходя к локальным производным, из (7.4) и (7.5) получим

В гл. 3 было получено уравнение, связывающее векторы

Уравнение, связывающее вектор с приращением вектора остается без изменения [уравнение (3.25) ]:

В связанной системе координат, как было показано в § 10 [соотношения (3.23)], вектор

Компоненты вектора и можно, в свою очередь, выразить и через углы что было сделано в § 2 [соотношения Уравнение для вектора перемещения точек осевой лнннн стержня остается без изменения:

Дифференцируя (7.13) по (используя равенство получим

Уравнение (7.14) тождественно совпадает с уравнением (4.45), которое было получено в § 20 из чисто кинематических соотношений. Выражения для компонент вектора и через углы было получено в § 16. Уравнения можно, аналогично уравнениям статики, привести к безразмерному виду, введя дополнительно к ранее введенным (§ 10, п. 5) новые безразмерные величины и безразмерное время:

где масса единицы длины стержня в начале координат.

В произвольном сечении стержня (переходя к безразмерной координате массу единицы длины можно выразить через :

где безразмерная функция.

Матрица инерции (когда связанные оси являются главными осями инерции элемента стержня), где плотность единицы объема материала стержня.

В безразмерной форме получаем следующую систему дифференциальных нелинейных уравнений движения стержня (опуская знак тильды над безразмерными величинами):

где площадь сечения стержня в начале координат.