При приближенных методах решения уравнения (6.45) функция и берется в виде ряда
где 
функции, характеризующие свободные колебания стержня, которые удовлетворяют всем краевым условиям задачи.
При свободных колебаниях имеем 
поэтому из (6.47) получаем
Получим выражение для 
Так как
то, переходя к безразмерной форме записи, получим
При свободных колебаниях имеем 
поэтому из (6.51) получаем
Из (6.46) получаем выражение для 
Для 
получаем выражение, зависящее от 
Полагая 
из (6.27) получаем
Подставив в (6.55) выражение для 
получим зависимость 
от 
Для консольного стержня постоянного прямоугольного сечения имеем 
и из (6.49) и (6.51) получаем условия, которым должна удовлетворять функция 
с прогибами стержня и, так как краевые условия зависят не только от 
но и например, для консольного стержня) от 
Из уравнения (6.30) после перехода к безразмерным величинам находим 
(полагая 
)
