3. Векторный базис.

Система любых линейно независимых единичных векторов образует базис -мерного пространства. Любой вектор а можно разложить (единственным образом) по базисным векторам, т. е. представить в виде

где проекция вектора а на ось.

В дальнейшем под базисом подразумевается ортогональный базис (рис. 1.1). Ортогональная система координат может бить прямолинейной (такая система координат называется декартовой) и криволинейной (цилиндрическая, сферическая, эллиптическая). В прямолинейной системе координат базисные единичные векторы во всех точках пространства неизменны по направлению, в криволинейных системах координат базисные векторы при переходе в другую точку пространства меняют направление.

Получим выражения, позволяющие переходить от одного ортогонального оазиса к другому (правила преобразования координат). Пусть — некоторый базис в трехмерном пространстве (рис. 1.2), определяющий направления координатных осей, а некоторый другой базис в этом же пространстве.

Каждый из векторов базиса можна разложить по векторам исходного базиса

или

где проекции базисных векторов на направления, определяемые векторами

В системе (1.3) коэффициенты определяют матрицу

которая называется матрицей перехода от базиса к базису

Выражения (1.2) — (1.3) можно представить в более компактной форме, введя следующее соглашение: если индекс употреблен дважды, то подразумевается, что этот индекс принимает все значения, которые указываются в знаке суммы знак суммы можно опустить:

Повторяющиеся индексы называют немыми, так как их замена на любые другие, не встречающиеся в данной записи, не изменяет выражения. Неповторяющиеся индексы называют свободными [21].

В качестве примера найдем значения элементов матрицы Рассмотрим случай, когда новые базисные векторы в новом положении координатных осей остались параллельными исходным базисным векторам с одинаковыми индексами (см. рис. 1.2). Такое перемещение координатных осей в пространстве называется поступательным. При преобразовании базисных векторов поэтому где единичная матрица.

В качестве второго примера найдем матрицу перехода при произвольных перемещении и повороте тройки базисных векторов (см. рис. 1.2). Так как при поступательном перемещении координатных осей базисные векторы совпадают с исходными, то можно

Рис. 1.3

Рис. 1.4

Рис. 1.5

рассмотреть только преобразование базисных векторов, связанное с поворотом. Произвольный поворот координатных осей можно представить как три независимых поворота [15]. Рассмотрим поворот исходных координатных осей относительно оси, совпадающей с направлением на положительный угол (рис. 1.3). Получаем

Соответствующая матрица перехода

Элементы матрицы (как и элементы любой матрицы поворота координатных осей) можно рассматривать как направляющие косинусы между векторами базисов и

Второй поворот на положительный угол осуществим относительно оси, совпадающей с направлением вектора (рис. 1.4). При этом

Соответствующая матрица перехода

Наконец, последний поворот координатных осей осуществим относительно оси, совпадающей по направлению с положительный угол (рис. 1.5). После поворота базисные векторы совпадают с векторами Соответствующая матрица перехода

Компоненты произвольного вектора а при каждом из поворотов преобразуются следующим образом:

поэтому

Матрица перехода от базиса к базису

или

или

Матрица позволяет определить положение элемента стержня в пространстве при его произвольных поворотах. Матрица поворота координатных осей имеет следующую особенность: ее обратная матрица равна транспонированной матрице

Так как то элементы матрицы удовлетворяют следующим шести условиям:

Систему (1.13) можно записать более компактно, если воспользоваться соглашением о суммировании и символами Кронекера :

Возможны и другие варианты трех последовательных, поворотов координатных осей. Соответствующие углы, определяющие поворот осей, выбираются в зависимости от решаемых задач.

Наибольшей популярностью в теоретической механике пользуются углы Эйлера [15], однако в механике стержней и нитей более удобными при решении являются углы, которые при малом отклонении осей остаются малыми. Матрица перехода при малых углах принимает вид