§ 26. Стационарное движение нити в средах разной вязкости

Рассмотрим участок нити, движущейся в двух средах с различной вязкостью (см. рис. 5.14).

Так как то из (5.55) [после исключения с использованием (5.57)] получим для первого участка

или

Первый интеграл уравнения (5.137) имеет вид (при

Интегрируя (5.138), получаем (учитывая, что

Аналогичное выражение получаем для второго участка:

В выражения для входят шесть произвольных постоянных, которые находятся из краевых условий и условий стыковки решений в точке (см. рис. 5.14). Из краевых условий следует: при при при

Длина участка нити I между токами Ли В считается известной, поэтому получаем шестое уравнение (безразмерная длина равна единице)

Для натяжения на каждом из участков получаем выражения [аналогичные выражению (5.120)]

Рис. 5.28

Рис. 5.29

Совместное (численное) решение уравнений, получающихся при выполнении краевых условий и стыковки, дает возможность определить все произвольные постоянные и тем самым получить уравнения для равновесной формы нити и натяжения в ней с учетом разной вязкости сред. Задача определения формы нити и натяжения существенно усложняется, когда нить имеет особую точку (рис. 5.28). В этом случае имеем четыре участка, для которых различны. На каждом из участков выражение для зависит от трех постоянных Кроме того, неизвестными являются значения абсцисс где нить переходит из одной среды в другую, т. е. всего имеет 14 неизвестных. Для их определения необходимы 14 условий, получающихся из краевых условий и стыковки решений. Необходимо стыковать четыре участка при следующих условиях:

В развернутом виде эти условия приведены в работе [43]. На рис. 5.29 показаны три формы нити: форма 1 при движении в двух средах для случая, когда при Форма 2 соответствует движению нити в одной среде с силой сопротивления и форма 3 соответствует движению нити в среде с силой сопротивления