§ 45. Определение частот колебаний стержня, имеющего продольное движение

1. Численный (точный) метод определения частот.

При наличии продольного движения уравнения малых колебаний стержня содержат первую производную по времени из-за возникающего ускорения Кориолиса, что существенно осложняет определение собственных значений краевой задачи.

Полагая из системы (8.131) — (8.134) получим (при

Уравнения (8.157) и (8.158) содержат мнимые коэффициенты, поэтому неизвестные векторы ни, следует считать комплексными векторами вида

Подставив выражения (8.161) в уравнения и разделив действительные и мнимые части, получим систему восьми векторных уравнений вида [предварительно исключив из уравнений (8.157) и (8.158) и использовав уравнение (8.159)]

Система уравнений (8.162) - 24-го порядка. Эту систему можно представить в виде одного векторного уравнения

где

Так как вектор комплексный, а краевые условия однородные, необходимо, чтобы действительная и мнимая часть соответствующих комплексных векторных компонент вектора были равны нулю. Например, для стержня, показанного на рис. 8.11, должны выполняться условия:

Решение уравнения имеет вид

Матрица имеет размерность Задаваясь значениями X, находим (численно) такие значения которые обращают в нуль определитель

Определение собственных значений наиболее эффективно с помощью метода наискорейшего спуска.

Изложенный метод определения собственных значений краевых задач может быть использован и для неконсервативных задач, для которых (например, колебания прямолинейного трубопровода с текущей" жидкостью) возможны неустойчивые режимы колебаний. Поэтому при определении собственных значений временную функцию следует брать в виде . В этом случае определитель, получающийся при удовлетворении краевым условиям задачи, зависит от двух параметров Значения и при которых определитель обращается в нуль, дают собственные комплексные числа . В зависимости от знака действительной части комплексного числа колебания будут устойчивыми или неустойчивыми.