§ 38. Прямолинейное движение нити

На практике часто используется прямолинейно движущаяся нить, в частности в бесчелночном ткачестве, в морском промысле [движущийся гарпун с канатом (рис. 7.5)] и т. д. Кроме того, задачи о прямолинейном движении нити представляют теоретический интерес как задачи, иллюстрирующие общие теоремы механики нити.

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Рис. 7.6

1. Рассмотрим горизонтальное движение нити с закрепленным концом (рис. 7.6). В начальный момент времени нить имела скорость Правый конец нити внезапно закрепили в точке А, после чего она стала двигаться, образуя петлю. Требуется определить скорость нити при и натяжение в покоящемся участке нити.

Пренебрегая весом нити и сопротивлением среды, в которой движется нить, получим уравнение движения нити, воспользовавшись уравнениями Лагранжа второго ряда. Кинетическая энергия движущегося участка нити

поэтому уравнение движения имеет вид

Представим в виде

тогда из (7.65) получим

После интегрирования (7.67) и определения произвольной постоянной из начальных условий (при получим

Из выражения (7.68) следует, что при скорость движения отрезка нити Конечно, на практике из-за потерь на преодоление сопротивления среды скорость точки В нити в момент, предшествующий ее полной остановке, является конечной, но может достигать очень большого значения.

Рис. 7.7

Рис. 7.8

Известно, что движение кнута (движение которого эквивалентно рассматриваемому случаю на рис. 7.6) в момент распрямления сопровождается сильным хлопком. Объяснить это можно тем, что скорость кончика кнута достигает значения, равного скорости звука, и возникает ударная волна, которая и воспринимается наблюдателем как хлопок.

Найдем натяжение возникающее в нити при торможении, воспользовавшись теоремой об изменении количества движения:

Подставив выражение для скорости получим

или

При натяжение в нити Знак «минус» указывает на то, что имеет направление, противоположное показанному на рис. 7.7, т. е. усилие, возникающее в нити, является растягивающим. Найдем значение кинетической энергии движущегося участка нити. Подставив в (7.64) выражение для получим

т. е. кинетическая энергия в любой момент времени равна начальной. Пример, близкий к рассматриваемому, исследован в [15].

2. Рассмотрим движение нити с учетом сопротивления среды (рис. 7.8), принимая где а — постоянное число. Воспользуемся уравнением (7.65), в которое введем силу сопротивления, действующую на движущийся участок нити, получаем

Воспользовавшись подстановкой (7.66), из (7.70) находим

Полагая где произвольные функции, имеем

Требуя, чтобы выполнялось условие найдем функцию

Функцию находят из уравнения

или

Окончательно получаем

При поэтому произвольная постоянная

Из (7.75) следует, что при силе сопротивления, пропорциональной скорости движения, и при скорость нити как и для случая движения без сил сопротивления (при условии, что Произвольная постоянная в зависимости от конкретных значений к а (для одной и той же иити) может быть как положительной, так и отрицательной. Если таковы, что то нить остановится, не распрямившись до конца, так как при скорость нити убывает. Предельный случай, когда в момент ее полного распрямления скорость нити соответствует значению Значение при котором нить может остановиться, находят из условия (при

Воспользовавшись выражением (7.69), найдем натяжение нити

или

Если то натяжение падает до нуля, так как скорость в интервале обращается в нуль.