Глава 2. Статика прямолинейных стержней
§ 4. Введение
В прикладных задачах статики стержней часто внешние силы, действующие на стержни, зависят от перемещений стержня (или от их первых двух производных). Классическим примером являются стержни на упругом основании (рис. 2.1). При нагружении стержня возникают со стороны основания распределенные силы, зависящие от перемещений (прогибов) стержня. Стержни (вернее конструкции или элементы конструкций, которые сводятся к модели стержня) из разных областей техники показаны на рис. 2.2 — 2.6. Упругий металлический элемент прибора, находящийся в магнитном поле, изображен на рис. 2.2. Сила притяжения (распределенная) зависит от прогибов стержня аналогично случаю балки на упругом основании. Стержень, находящийся на вращающейся платформе (см. рис. 2.3), нагружается силами, зависящими от прогибов, причем в этом случае наряду с нормальной распределенной нагрузкой 
появляется и осевая распределенная нагрузка 
При продольно-поперечном изгибе (см. рис. 2.4) в произвольном сечении стержня возникает момеит от осевой силы пропорциональный прогибу. К этому классу относятся задачи статики трубопроводов, заполненных движущейся жидкостью. При поперечном изгибе трубопровода (см. рис. 2.5) из-за появляющейся кривизны осевой линии стержня возникают распределенные силы, обратно пропорциональные радиусу кривизны. К этому классу можно причислить задачи, относящиеся к плавающим объектам и сводящиеся к схеме стержне (см. рис. 2.6), например понтон.
Рассмотрим равновесие элемента балки, находящейся на упругом основании (рис. 2.7). Проектируя силы на оси у и считая, что контактные силы между стержнем и основанием линейно зависят от прогибов, получим
где 
— обобщенная внешняя нагрузка, зависящая от распределенных и сосредоточенных внешних сил; 
модуль
(кликните для просмотра скана)
упругости первого рода; 
- момент инерции сечения относительно оси 
Рис. 2.7
Для стержня в магнитном поле (см. рис. 2.2) уравнение равновесия
где 
Считая, что прогибы стержня малы по сравнению с размером а, можно распределенную силу 
представить в виде
Уравнение (2.2) принимает вид
Рассматривая равновесие элемента стержня, находящегося на вращающейся платформе, получаем уравнение равновесия
При рассмотрении равновесия элемента трубопровода получаем
Все приведенные уравнения являются частными случаями уравнения вида
