§ 18. Переменные Лагранжа и Эйлера в механике стержней

1. Переменные Лагранжа.

Чтобы опиеать движение етержня (сплошной одномерной среды,) состоящего из сплошной совокупности точек (элементов), надо знать движение всех точек, для чего необходимо ввести правила индивидуализации отдельных точек среды, например, значения их координат в некоторый (начальный) момент времени.

Движущийся стержень в произвольный момент времени показан на рис. 4.3. Считаем, что сечение стержня (при закреплено и нерастяжимо. В этом случае элемент стержня длиной находящийся на расстоянии от заделки, при любых движениях будет сохранять это положение на осевой линии. Если известно положение точек осевой линии в начальный момент времени то, зная их координаты в произвольный момент времени, мы знаем и положение стержня в пространстве. Координаты точек в произвольный момент времени зависят от координат в начальный момент времени, т. е.

Координаты характеризующие точки стержня, называются переменными Лагранжа. Считается, что в любой фиксированный момент времени система уравнений (4.26) может быть разрешена относительно

что возможно в том случае, когда функциональный определитель (якобиан)

Изучая движение стержня с использованием переменных Лагранжа, мы следим за движением отдельного элемента стержня.

При параметрическом задании осевой линии стержня положение точки осевой линии стержня При выводе уравнений движения необходимо знать полные производные координат точек осевой линии стержня по времени или

Рис. 5.17

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Так как от времени не зависят, то полные производные равны частным производным, т. е.