§ 6. Элементарные обобщенные функции

Рассмотрим функцию имеющую максимум при и быстро убывающую с увеличением (рис. 2.8), причем

Сформулированным условиям удовлетворяют много функций, например

Преобразуем функцию увеличив ее значение при раз, одновременно сжав ее по оси также в раз, что эквивалентно введению новой функции вида

где произвольное число.

Качественное поведение функции для ряда значений показано на рис. 2.8. Функция при любом

Рис. 2.8

Рис. 2.9

удовлетворяет условию (2.21). При неограниченном увеличении получаем функцию со следующими свойствами (рис. 2.9):

С учетом отношения (2.21) имеем

где функция Дирака. Из (2.25) следует, что

где знак размерности.

В безразмерные уравнения (в частности с безразмерной независимой переменной) входит -функция вида где безразмерная величина. Покажем, что справедливо равенство [10]

Рассмотрим интеграл от

При имеем

при

т. е. функция удовлетворяет всем свойствам -функции. Аналогичным образом моцут быть введены и. функции, являющиеся производными от -функции, например

График при конечном показан на рис. 2.10 (качественно). Для производной функции при получаем

Рис. 2.10

Рис. 2.11

Естественным обобщением введенной функции (2.27) является функция, смещенная относительно начала отсчета, например которая при (также) есть функция Дирака (рис. 2.11). Для нее справедливо условие

Рассмотрим функцию, связанную с -функцией условием

Введенная функция (функция Хевисайда) имеет свойства

Из (2.29) следует

Интеграл от функции

Рассмотрим производную от -функции по если

или в силу условия (2.26) получаем

Линейные операции с использованием -функции Дирака.

Рассмотрим интеграл вида

где непрерывная функция.

Наглядное представление о значении интеграла можно получить из рассмотрения графика на рис. 2.11. На графике видно, что подынтегральное выражение в (2.34) отлично от нуля только на интервале где малая величина. В пределах этого интервала функция имеет неизменное значение, равное т. е., учитывая (2.28), получаем

Из предыдущего вытекает

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

В случае, если подынтегральное выражение зависит от производной -функции, используя правило интегрирования по частям, получаем

или

Для общего случая

При переменном верхнем пределе

Рассмотрим несколько примеров, связанных со статикой стержней:

а) Консольный стержень, нагруженный сосредоточенными силой и моментом и распределенной нагрузкой показан на рис. 2.12.

Рис. 2.12

Рис. 2.13

рис. 2.12. Уравнение равновесия с использованием разрывных функций имеет вид

Последовательно интегрируя (2.41) (от ), получим

При следовательно, При должны выполняться условия

откуда следует, что

б) Рассмотрим равновесие натянутой нити с учетом сил веса, на которую действуют сосредоточенная сила и распределенная нагрузка (рис. 2.13). Уравнение равновесия нити (считая отклонения нити от прямолинейного нагруженного состояния малыми) имеет вид

где вес единицы длины нити; масса единицы длины стержня.

Интегрируя уравнение (2.42), получаем

При вытекает, что

Вторую произвольную постоянную найдем из условия

Особенностью полученного решения является то, что первая производная от прогиба струны в точке приложения сосредоточенной силы имеет излом (для стержня с отличной от нуля изгибной жесткостью первая производная от прогиба является непрерывной функцией). Если условиться (как-это обычно и делается), что выражения в скобках (2.43) — (2.44) отличнны от нуля только тогда, когда то функции можно не писать.