3. Получим уравнение колебаний нити относительно вертикальной плоскости

В которой располагается стержень при равновесии. Подставив в уравнение (8.91) выражение для получим

Исключая из (8.114) углы и используя уравнения (8.94) и (8.96) и полагая получим

При определении частот колебаний точным численным методом принимают

Для определения получаем уравнение

Решая уравнение (8.116) при условиях из получаем функцию которая при должна быть равна нулю. Значения X, когда это условие выполняется, являются безразмерными частотами нити при колебаниях относительно вертикальной плоскости. Для случая, показанного на рис. поэтому

Удовлетворяя краевым условиям, получим что дает поэтому безразмерные частоты колебаний

Уравнение (8.115) эквивалентно уравнению колебаний неоднородной струны с переменным по длине натяжением.

Получим приближенное значение для частот, воспользовавшись принципом возможных перемещений. Решение выражения (8.115) ищем в виде ряда

где функции, удовлетворяющие краевым условиям задачи (при при

В соответствии с принципом возможных перемещений получаем

После преобразований (8.120) получаем систему уравнений относительно функций

где

В векторной записи имеем

Полагая где безразмерная частота, получаем уравнение для определения частот

Например, ограничившись первым приближением, получаем значение низшей безразмерной частоты Размерная частота