§ 12. Уравнения равновесия стержней в проекциях на неподвижные оси

1. Уравнения равновесия пространственно-криволинейного стержня.

В неподвижных осях любой вектор записывается в виде

поэтому, полагая из (3.3) получим уравнение в проекциях на неподвижные оси

В уравнении (3.45) и последующих уравнениях считается, что все величины приведены к безразмерной форме.

Для того чтобы получить в проекциях на неподвижные оси уравнение (3.4), надо представить векторное произведение в виде разложения по векторам базиса

Вектор можно представить в видебх свою очередь, вектор выражается через вектора базиса

поэтому

и векторное произведение можно представить в форме

Уравнение (3.4) в проекциях на неподвижные оси принимает следующий вид:

В более подробной записи, например для проекции на из (3.49) имеем

Если можно считать, что стержень практически не деформируется при приложении сил, то в уравнении (3.50) следует положить

Распределенная нагрузка может быть задана как в неподвижной системе координат (т. е. известны), например «мертвая»

нагрузка, так и в подвижной системе координат, например следящая распределенная нагрузка (т. е. известны компоненты векторов в связанной системе координат). В последнем случае надо величины представить через

Так как а векторы базисов связаны соотношениями

то

Для векторов имеем следующие выражения:

Из соотношений (3.52) и (3.53) получаем

Например, проекция на ось в развернутом виде

Уравнения равновесия (3.45) и (3.49), выраженные через проекции векторов в связанной системе координат имеют вид

Воспользовавшись соотношениями (3.51), из (343) в проекциях на неподвижные оси получаем следующее уравнение:

Например, проекция уравнения (3.43) на ось в развернутом виде записывается следующим образом:

Рис. 3.8

Сохранив в качестве неизвестных проекции момента и проекции вектора в связанной системе координат, уравнение (3.34) можно представить в виде

где элементы матрицы жесткости, которые при равны нулю.

Рассмотрим уравнение (3.55) более подробно, воспользовавшись выражением (1 77) для вектора локальная производная):

которое можно записать

Исключив из уравнения (3.55) компоненты вектора получим

Например, при получаем следующее выражение:

К уравнениям (3.51)-(3.53) и (3.58) следует добавить соотношения, связывающие компоненты вектора в базисах