§ 22. Уравнение равновесия гибкого стержня

Стержень, Непрерывно движущийся со скоростью (точнее, отрезок бесконечного стержня постоянной длины), показан на рис. 5.8. В установившемся режиме движения пространственная форма стержня остается неизменной. Такой режим движения принято называть стационарным движением. Основная особенность стационарного режима движения заключается в том, что для внешнего наблюдателя стержень в целом (по отношению к покоящейся системе координат) сохраняет свое положение в пространстве, несмотря на имеющуюся скорость продольного движения — движения, когда вектор абсолютной скорости всегда направлен по касательной к осёвой линии стержня. Иногда такое состояние равновесия называют «кажущимся покоем» стержня. Понятие стационарного движения справедливо и в относительной системе координат, например во вращающейся (см. рис. 5.4). В дальнейшем будем представлять стержень, находящийся в абсолютно гибкой безынерционной трубке, имеющей ту же длину (рис. 5.9, а). Рассмотрим элемент стержня (рис. 5.9, б), совпадающий в данный момент с элементом трубки. В отличие от уравнения равновесия, полученного в гл. 3, в данном случае на стержень действует распределенная нагрузка

где распределенная нагрузка (вызванная силамн инерции)

( - масса единицы длины стержня).

Рис. 5.9

При стационарном движении нерастяжимого стержня справедливо условие Переходя к переменным Эйлера и учитывая, что получим

Так как при стационарном движении все величины, характеризующие состояние стержня, не зависят от времени, то вместо частных производных можно использовать полные производные по поэтому получаем следующее уравнение равновесия:

Переходя к безразмерной форме записи (аналогично § 11), получим

где безразмерные величины.

Уравнение (5.5) можно представить в виде

которое эквивалентно (по записи) уравнению (3.41), т. е. можно исследовать состояние кажущегося покоя стержня, используя уравнение (5 5). Тогда продольное движение стержня эквивалентно дополнительной распределенной нагрузке и можно рассматривать равновесие, «забыв» о продольном движении, а затем в конечном решении к осевой силе добавить слагаемое

Как следует из выражения для основная особенность полученного уравнения (5.6) заключается в том, что изменяется только осевое усилие, увеличивающееся на одну и ту же величину

Переходя к локальным производным в (5.4), имеем

В проекциях на связанные оси уравнение (5 7) принимает вид

При движении по криволинейной пространственной трубке элемент стержня вращается с некоторой угловой скоростью поэтому на него действует дополнительная распределенная инерционная нагрузка — распределенный момент равный

или переходя к переменным Эйлера

где матрица главных моментов инерции элемента стержня, длина которого равна единице. Перейдя к локальным производным, получаем уравнение (в безразмерных величинах)

В скалярной форме имеем

Уравнение для перемещений остается без изменения, так как при установившемся движении форма стержня может быть определена как форма неподвижной трубки, с которой совпадает стержень. Для гибких тонких стержней распределенный момент, вызванный инерцией вращения, как правило, является малым, и им можно пренебречь Если слагаемое, зависящее от скорости продольного движения, объединить с осевой силой [как это сделано в то уравнения, характеризующие стационарное движение стержня, эквивалентны уравнениям равновесия. Сила входящая в уравнение моментов, может быть заменена на так как справедливо равенство

и уравнение (5.12) (при тождественно совпадает с уравнением (3.98).

Рассмотрим несколько частных случаев общих уравнений стационарного движения стержня, имеющих прикладное значение. Во введении к этой главе приведен пример, где используется быстродвижущийся гибкий стержень для охлаждения реактора (ленточный радиатор).

Рис. 5.10

Получим уравнения стационарного движения ленточного радиатора. Ленточные радиаторы предназначены для отвода тепла от различного типа силовых установок, в частности от силовых установок космических кораблей (рис. 5.10) [51]. В условиях космоса тепло может быть отведено в окружающее пространство только путем излучения. Обычные радиаторы, предназначенные для отвода тепла, при больших значениях отводимой энергии имеют большую массу, что для космических кораблей недопустимо. При необходимости отвода энергии около 1 МВт вес радиатора равен почти половине веса силовой установки. Применение ленточного радиатора позволяет снизить вес радиатора почти на 60% [51]. Кроме того, ленточный радиатор менее чувствителен к столкновениям с частицами, которые представляют большую угрозу для обычных радиаторов.

Действие обычного радиатора основано на циркуляции рабочей жидкости силовой установки или вторичной охлаждающей жидкости по системе входных и выходных камер, служащих кожухами для множества более тонких трубочек, расположенных внутри. Внешние поверхности этих маленьких трубочек и составляют как раз всю теплообменную поверхность радиатора. Камеры делают из значительно более толстого материала, чтобы выдержать все бесчисленные столкновения с частицами за весь срок службы. Трубки меньшего диаметра могут иметь более тонкие стенки, чем камеры, и в случае проникновения частицы поврежденная трубка может быть удалена из системы, чтобы предотвратить потерю жидкости. Несмотря на применение тонкостенных трубок, общая масса их составляет почти половину массы всего радиатора.

Ленточный радиатор состоит из вращающегося барабана или другой контактной поверхности, нагревающейся при работе силовой установки, и замкнутой гибкой ленты (см. рис. 5.10). Часть непрерывно движущейся ленты находится в контакте с нагретой поверхностью (барабаном) и за время контакта нагревается. После выхода из контакта с барабаном нагретый участок ленты движется в окружающем пространстве, охлаждается и снова входит в контакт с барабаном. Цикл повторяется.

Скорость, с которой лента отводит тепло от вращающегося барабана, намного превосходит скорость излучения тепла в пространство. Следовательно, площадь контакта между лентой и вращающимся барабаном должна быть много меньше, чем площадь, с которой излучается тепло. Отношение этих площадей и скорость движения позволяют регулировать процесс отвода тепла от силовой установки. Ленточный радиатор в сравнении с обычной трубчатой (змеевиковой) системой характеризуется простотой и

надежностью в эксплуатации, дает возможность избавиться от охлаждающей жидкости. Это приводит к уменьшению веса силовой установки. Расчет ленточного радиатора включает как расчет термодинамических процессов, так и расчет, связанный с определением прочности и долговечности. Для более интенсивного отвода тепла от нагретой поверхности следует увеличить скорость движения ленты, что приводит к увеличению средних значений напряжений в ней и к более быстрому накоплению циклов напряжений, тем самым к уменьшению долговечности. Поэтому выбор оптимальных режимов работы ленточного радиатора надо рассматривать как совместную термодинамическую и механическую задачу.

Рис. 5.11

Ограничимся в дальнейшем только механической частью расчета ленточного радиатора и получим уравнения равновесия ленты Для режимов работы в космосе и в земных условиях. Уравнения стационарного движения ленты получим в системе координат вращающейся с угловой скоростью цилиндров 1 и 2 (рис. 5.11), прижимающих ленту к барабану. В относительной системе координат лента имеет продольное движение со скоростью кроме того, на ленту действует распределенная нагрузка Воспользуемся уравнением равновесия стержня (5.6), которое запишем во вращающейся системе координат Полагая

и переходя к безразмерной форме записи, получим (принимая во внимание, что

После преобразований получаем следующие уравнения равновесия ленты (опуская индекс «нуль» в безразмерных величинах):

Полученная система уравнений является нелинейной, поэтому точно решить практически невозможно. Рассмотрим один из возможных вариантов приближенного решения, использующий особенность применяемых лент — их малую изгибную жесткость. Чем меньше отношение толщины ленты к среднему радиусу кривизны при стационарном движении, тем меньше влияет на форму ее изгибная жесткость. Возможны конструкции лент из набора цепочек, которые имеют нулевую изгибную жесткость. При малой изгибной жесткости для получения безразмерных сил и моментов следует использовать другие множители, например, вместо следует брать . В этом случае имеем

Тогда равно

При приближенном решении системы в качестве первого приближения естественно взять предельный случай, когда изгибная жесткость ленты равна нулю, т. е. допустить, что ленту можно рассматривать как абсолютно гибкий стержень (нить). Для нити поэтому при малой изгибной жесткости можно считать, что являются малыми величинами и их можно представить в виде разложения по малому параметру При малой жесткости ее можно считать малым параметром порядка Разложение имеет вид

Аналогично можно представить .

Подставив выражения для и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях получим следующие системы уравнений для первого и последующих приближений (опуская индекс «нуль» в безразмерных величинах):

В системе линейных уравнений неизвестными являются Основная трудность при решении системы заключается в том, что задача в целом является двухточечной краевой задачей. Так как используемый при решении метод малого параметра приводит по каждому приближению (кроме первого) к линейным уравнениям, то для решения может быть использован метод прогонки, позволяющий свести двухточечную задачу к одноточечной [2].

Рассмотрим систему нелинейных уравнений которая представляет собой систему уравнений равновесия движущейся нити в поле центробежных сил. Ограничимся приближенным решением, полагая . В этом случае находим приближенные выражения для

Считая, что форма леиты симметрична относительно оси х (это подтверждается экспериментальными исследованиями), поместим начало системы координат так, что при (см. рис. 5.11).

Из уравнения для имеем: откуда Тогда неизвестное натяжение

Натяжение в ленте с учетом продольной скорости движения находим из (5.26):

Из ограничения на величину осевой силы можно установить предельную скорость движения ленты (или предельную угловую скорость обкатывания прижимными валиками барабана). Например, если нельзя допустить, чтобы напряжения в ленте превышали предел текучести то из (5.37) имеем

где площадь поперечного сечения ленты.

Удовлетворяя краевым условиям и для окончательно получим

Полученные выражения для являются приближенными. Потребуем, чтобы уравнение (5.28) удовлетворялось интегрально, т. е.

Подставив в (5.39) выражения для после преобразований получаем уравнение для определения произвольной постоянной

откуда

Рис. 5.12

Знак найдем из условия, что при рис. 5.11), что соответствует положительному значению корня. Из рис. 5.11 следует, что Исключая из выражений для параметр получаем уравнение эллипса

Форма лецты показана пунктирной линией. Столь большое отличие в формах объясняется тем, что лецта, показанная сплошной линией, нарисована для случая с конечной изгибной жесткостью. Полученное решение можно уточнить, воспользовавшись системой уравнений Изложенный алгоритм решения нелинейных задач статики гибких стержней, имеющих малую жесткость, может быть использован не только при решении задач, когда внешние распределенные нагрузки пропорциональны координатам, но и для любых других зависимостей их координат и их первых производных.

Рассмотрим случай работы ленточного радиатора в земных условиях, когда вращение ленты относительно оси барабана нежелательно. Для того чтобы лента не меняла своего положения в пространстве, необходимо вращать с угловой скоростью барабан (рис. 5.12), зафиксировав положение прижимных валиков 1 и 2. В этом случае на ленту действуют другие распределенные силы, а именно сила веса и сила аэродинамического сопротивления зависящая от скорости продольного движения Так как вектор можно представить через проекции на оси (приведя к безразмерной форме)

то из уравнения (5.6) получаем следующую систему уравнений равновесия гибкой ленты с учетом сил веса и аэродинамического сопротивления (опуская индекс «нуль»):

Уравнения (5.20)-(5.22) остаются без изменения. Уравнения (5.42), (5.43) позволяют получить первые два интеграла

Для случая, когда изгибная жесткость ленты мала, можно воспользоваться методом малого параметра, как это было сделано при решении предыдущей задачи [перейдя к безразмерным величинам (5.23)]. Основная особенность данной задачи заключается в том, что считать осевое усилие (даже приближенно) постоянным по длине ленты (как это было сделано в предыдущей задаче) нельзя из-за наличия продольных аэродинамических сил, т. е. для получения первого приближения следует решать систему трех уравнений вида

Метод решения системы (5.46)-(5.48) изложен в § 24.